Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Заказать написание работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Полином Лагранжа на системе равноотстоящих



интерполяционных узлов

Величина h = xi+1 xi = const. Тогда произвольный узел xi = x0+i×h, . Введем переменную t = (xx0)/ h. Тогда xxi = x0 + thx0 ih = (ti)h . (15)

Подставив разности (15) в равенство (11) получим:

Далее, так как

xj xi = (x0 + jh) – (x0 + ih) = (ji)h,

то с учетом (15) формула Лагранжа примет вид:

(16)

где t = (xx0)/h.

Его погрешность


30.Интерполяционный многочлен Ньютона:

27.Понятия конечных разностей для задач аппроксимации:

28.Понятия разделенных разностей для задач аппроксимации:

Как и в предыдущем случае строится многочлен (2) с соблюдением условий (3) специфического вида. Интерполяционный многочлен Ньютона ищется в следующем виде:

N(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)(xx1)+…+an(xx0)(xx1)…(xxn–1).(17)

Как и в случае (8) для получения рабочей формулы Ньютона необходимо определить значения коэффициентов ai. В отличие от технологии расчета (9) для построения интерполяционного многочлена Ньютона вводится рабочий аппарат в виде, так называемых, конечных разностейдля системы равноотстоящих интерполяционных узлов и в виде разностных отношений (разделенные разности) для произвольной системы узлов.

Пусть заданны равноотстоящие узлы xk = x0 + kh, h = xi+1 xi = const > 0. Значения f(x) в них обозначим f(xk) = fk = yk , k = .

Конечными разностями первого порядка принято называть величины D f(xi) = Dfi = fi+1fi ; i = .

Конечные разности второго порядка определяются равенствами

i = .

Конечные разности (k+1)-го порядка определяются через разности k-го порядка

i = ; k = . (18)

Конечные разности, как правило, вычисляются по следующей схеме:

Таблица 1

i   fi   Dfi   D2fi   D3fi  
f0          
    Df0        
f1     D2f0      
    Df1     D3f0    
f2     D2f1      
    Df2     D3f1    
f3     D2f2      
    Df3        
f4          
       

Каждая последующая конечная разность получается путем вычитания в предыдущей колонке верхней строки из нижней строки. Последняя колонка Dkfi будет равна нулю. Заметим, что конечные разности можно выразить непосредственно через значения функций. Так для i-го узла рабочая формула имеет вид:

Dkfi = (19)


i = ; k = 1,2, ...

Разностными отношениями (разделенными разностями) первого порядка называются величины

f(x0, x1)= f(x1, x2)= ; ...

Здесь xi – произвольные узлы с соблюдением приоритетности по величине.

По этим соотношениям составляются разностные отношения второго порядка:

f(x0, x1, x2) = ; f(x1, x2, x3) = ;…

Разделенные разности порядка (k+1), k = 1,2, ... определяются при помощи разделенных разностей предыдущего порядка k по формуле:

f(x0, x1, …,xk+1) = . (20)

Разностные отношения вычисляются по следующей схеме:

Таблица 2

i   xi   fi   f(xi,xi+1)   f(xi,xi+1,xi+2)  
  x0   f0        
      f(x0,x1)      
x1   f1     f(x0,x1,x2)    
      f(x1,x2)      
x2   f2     f(x1,x2,x3)    
      f(x2,x3)      
x3   f3     f(x2,x3,x4)    

Для равноотстоящих узлов xk = x0 + kh (k = ) имеет место соотношение между разделенными разностями и конечными разностями

f(x0, x1, …, xk) = k = 0,1,2, … (21)

Конечная разность и разделенная разность порядка n от многочлена степени (n) равны постоянной величине, и, следовательно, они для более высокого порядка равны нулю.





Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 1438 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2022 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.014 с)...