Метод простой итерации для систем нелинейных уравнений. Условия сходимости

//*постановка задачи

Многие практические задачи сводятся к решению систем нелинейных уравнений с n неизвестными:

(1)

В отличие от линейных систем прямых методов их решения нет за исключением систем второго порядка, когда одно неизвестное может быть выражено через другое.

Наиболее распространены два метода: метод простой итерации и метод Ньютона.

*//

Система (1) должна быть представлена в следующем виде:

(2)

где называются итерирующими функциями.

Алгоритм решения аналогичен алгоритму Зейделя или простой итерации для решения систем линейных уравнений.

Пусть известен начальный вектор решения: x_i = a_i,

i = 1,2,…, n, тогда

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока изменение всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станет меньше заданного значения e. Начальные значения должны быть близкими к истинным значениям, иначе итерационный процесс может не сойтись. Стоит проблема их отыскания (т.е. условий сходимости).

В случае расходимости (несходимости) в блок-схеме алгоритма срабатывает механизм ограничения числа итераций.