Решение типового примера

Найти объем тела, образованного вокруг оси OX фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой , прямой и осью OX.

Решение.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной кривой y=f(x), осью OX и прямыми x=a и x=b, вычисляется по формуле

. (1)

Объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной кривой x=w(y), осью OY и прямыми y=c и y=d, вычисляется по формуле

. (2)

Для решения указанной задачи построим чертеж. Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого решим систему уравнений

Первому квадранту соответствует корень А(1;8) - точка пересечения прямой и параболы в первом квадранте.

Найдем абсциссу точки пересечения прямой с осью OX, решив уравнение -6x+14=0, откуда x=7/3. Полученное тело вращения указано на рисунке 9.

Воспользуемся формулой (1)

.

Искомый объем равен сумме двух объемов, образованных вращением криволинейных трапеции: ОАС при ; САВ при вокруг оси OX.

.

Для вычисления второго интеграла воспользуемся подстановкой:

- пределы интегрирования.

Тема:9 Несобственные интегралы (задачи 131-140). Перед выполнением задач необходимо изучить раздела 16 ДЕ-4 (математический анализ).