Решение типового примера. Найти производные следующих функций:

Найти производные следующих функций:

а) .

Решение.

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения и формулами производной степенной и тригонометрической функции:

; ; , а также .

Преобразуем , получим:

.

б)

Решение.

Имеем сложную функцию , где . Тогда ,

Воспользуемся производной сложных функций:

;

Производная заданной функции:

.

в)

Решение.

Воспользуемся правилом дифференцирования частного функций и производной сложной функций:

;

.

г)

Решение.

В данном случае зависимость между аргументом x и y задана уравнением, которое не разрешено относительно функции y. Чтобы найти производную ,следует дифференцировать по x обе части заданного уравнения, считая при

этом y функцией от x, а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной . Имеем;

Из полученного равенства, связывающего x, y и , выразим производную :

.

д)

Решение.

Предварительно прологарифмируем по основанию e обе части равенства:

Теперь дифференцируем обе части равенства, считая lny сложной функцией от переменной x, в правой части равенства воспользуемся правилом дифференцирования производной функций: , получим:

Умножая обе части последнего равенства на y и подставляя вместо y, получаем:

.

81-90. Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления. Начертить их графики. Исследование функций и построение графиков проводить по следующей схеме:

1. найти область определения функции D(y);

2. исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва;

3. исследовать функцию на четность и нечетность.

4. найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;

5. найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика;

6. найти асимптоты графика функции;

7. построить график, используя результаты исследований;

81. а) ; б)

82. а) ; б)

83. а) ; б)

84. а) ; б)

85. а) ; б)

86. а) ; б)

87. а) ; б)

88. а) ; б)

89. а) ; б)

90. а) ; б)