Решение типового примера. а) Дана функция ; и значения аргумента

а) Дана функция ; и значения аргумента .

Требуется:

1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при данных значениях аргумента;

2) найти односторонние пределы в точках разрыва;

3) построить график данной функции.

Решение.

Если находится предел функции y=f(x) при условии, что аргумент x, стремится к предельному значению a, может принимать только такие значения, которые меньше a, то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом данной функций в точке x=a и обозначается

.

Аналогично, если аргумент x, стремится к предельному значению a, может принимать только такие значения, которые больше a, то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом данной функций в точке x=a и обозначается

.

Функция y=f(x) непрерывна при x=a, если выполняются следующие условия:

1) функция определена не только в точке а, но и в некотором интервале, содержащем эту точку;

2) функция имеет при конечные и равные между собой односторонние пределы;

3) односторонние пределы при совпадают со значением функции в точке а. т.е.

.

Если для данной функции y=f(x) в данной точке x=a хотя бы одно из перечисленных трех условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке x=a.

Разрыв функции в точке x=a называется разрывом первого рода, если односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны между собой. Если же хотя бы один из односторонних пределов не существует в этой точке, то точка x=a называется разрывом второго рода.

При x=-2 данная функция не существует: в этой точке функция терпит разрыв. Определим односторонние пределы функции при слева и справа

,

,

Таким образом, при x=-2 данная функция имеет разрыв второго рода, т.к. односторонние пределы в этой точке не существуют.

При x=3 данная функция непрерывна, так как выполняются все три условия непрерывности функции.

.

Данная функция является дробно-линейной. Известно, что графиком дробно-линейной функции служит равносторонняя гипербола. Асимптоты, которой параллельны осям координат. Для построения составим таблицу

x	-6	-5	-4	-3	-2	-1
y	9/2					-3			3/2	9/5		15/7	9/4

График функции показан на рисунке 3

	Рисунок 4

б) Функция: задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента x.

Требуется:

1) найти точку разрыва;

2) найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва;

сделать чертеж.

Решение.

Данная функция определена и непрерывна в интервалах . При x =4 меняется аналитическое выражение функции. И только в этой точке функция может иметь разрыв. Определим односторонние пределы в точке x =4:

;

Т.к. односторонние пределы не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода.

Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельными значениями. Следовательно, в точке x =4 скачок функции .

График функции показан на рисунке 4.

Тема:6 Дифференцирование функции одной переменной. Применение производной к исследованию функции (задачи 71-80,81-90). Перед выполнением задач необходимо изучить раздел 13 ДЕ-4(математический анализ).

71-80. Найти производные функции:

71. 1) 3) 5)

2) 4)

72. 1) 3) 5)

2) 4)

73. 1) 3) 5)

2) 4)

74. 1) 3) 5)

2) 4)

75. 1) 3) 5)

2) 4)

76. 1) 3) 5)

2) 4)

77. 1) 3) 5)

2) 4)

78. 1) 3) 5)

2) 4)

79. 1) 3) 5)

2) 4)

80. 1) 3) 5)

2) 4)

При решении задач 71-80 будем использовать таблицу 1 - производных основных элементарных функции и правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорему о производной сложной функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4.если задана сложная функция , где , то есть ; если каждая из функций дифференцируема по своему аргументу, то

.

Таблица 1.