Решение типового примера. Исследовать функции по схеме, указанной в условии задачи

Исследовать функции по схеме, указанной в условии задачи.

а) , б) .

Решение.

а)

1.Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента x, то есть D(y):

2. Функция непрерывна на всей числовой прямой, нет точек разрыва, следовательно, нет вертикальных асимптот.

3.При исследовании на четность, нечетность найдем y(-x).

или

Получили, что: и

Следовательно, функция ни четная, ни нечетная – функция общего положения.

4.Находим интервалы возрастания, убывания и экстремум функции, для этого:

а) найдем производную функции

б) Приравняем производную к нулю, решим уравнение и найдем критические точки I рода

; -критические точки.

в) Критическими точками разобьем область определения на интервалы и определим знак производной в каждом из интервалов.

+

-

+

-3

Если, например, x=-4, то .

Если, например, x=0, то .

Если, например x=3, то .

При функция возрастает, отмечаем это стрелкой &, при функция убывает (.

г) Если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с (+) на (-), то в этой точке функция имеет максимум (max), если знак меняется с (-) на (+), то в точке функция имеет минимум (min).

В нашем случае x=-3 – абсцисса точки max; x=2 – абсцисса точки min.

Вычисляем значение функции в точках экстремума

Для построения графика укажем A(-3;12)- точка max; B(2;-13)- точка min.

5. Находим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

а) найдем производную второго порядка.

б) приравняем вторую производную к нулю, решим уравнение

и найдем критические точки II рода.

в) область определения разобьем найденной точкой на интервалы и определим знак второй производной в каждом интервале

Расставляя знаки второй производной по интервалам, получаем, что в

интервале , график функции выпуклый, в интервале график функции вогнутый.

г) если при переходе через критическую точку II рода, меняет знак, то в этой точке имеем перегиб, в нашем случае - абсцисса точки перегиба.

Вычислим ординату точки перегиба.

С - точка перегиба.

6. Выясним наличие наклонных асимптот у графика данной функции.

Уравнение асимптоты ищем в виде

y=k x+b, где ; .

Имеем

Следовательно, наклонных асимптот график не имеет.

Можно найти точку пересечения с осью OY, x=0 D(0;-4,2). График на рисунке 5.

Рисунок 5

б) .

1.Областью определения данной: D(y):

2. Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки x=4. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

; .

Таким образом, точка x=4 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая x=4 – вертикальной асимптотой графика.

3.При исследовании на четность, нечетность найдем y(-x).

или

Получили, что: и .

Следовательно, функция ни четная, ни нечетная – функция общего положения.

4.Находим интервалы возрастания, убывания и экстремум функции, для этого:

а) найдем производную функции

.

б) Приравняем производную к нулю, решим уравнение и найдем критические точки I рода

-критические точки.

в) Критическими точками и точкой x=4, в которой функция не существует, разобьем область определения на интервалы и определим знак производной в каждом из интервалов.

	+		-		-		+

4(не сущ.)

-2

Рассматривая знаки производной по интервалам, получаем, что

при функция возрастает,

при функция убывает.

г) Получили x=-2 – абсцисса точки max

x=10 – абсцисса точки min.

Вычисляем значение функции в точках экстремума:

Для построения графика укажем A(-2;-4)- точка max, B(10;20)- точка min.

5. Находим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

а) найдем производную второго порядка.

б) приравняем вторую производную к нулю, решим уравнение

и найдем критические точки II рода.

Так как, , то график функции точек перегиба не имеет.

Остается выяснить вопрос об интервалах вогнутости.

в) область определения разобьем точкой разрыва x=4 на интервалы

и определим знак второй производной в каждом интервале . Расставляя знаки второй производной по интервалам, получаем, что в интервале , график функции выпуклый, в интервале график функции вогнутый.

6. Выясним наличие наклонных асимптот у графика данной функции.

Уравнение асимптоты ищем в виде

y=k x+b, где ; .

Имеем

.

Таким образом, прямая y=x+4 – наклонная асимптота графика. График на рисунке 6

Тема:7 Неопределенный интеграл (задачи 91-100). Перед выполнением задач необходимо изучить раздел 14 ДЕ-4 (математический анализ).