Решение типового примера. Даны координаты точек А(0;-2;-1), В(2;4;-2), С(3;2;0) и М(-11;8;10)

Даны координаты точек А(0;-2;-1), В(2;4;-2), С(3;2;0) и М(-11;8;10).

Найти: 1)уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, и С;

2) канонические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q,; 3) точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q, и с координатными плоскостями xOy, xOz, yOz;

Решение.

1) Уравнение плоскости. Проходящей через три данные точки , , , имеет вид

. (1)

Подставив в (1) координаты точек А, В и С, получим:

; .

Разложим определитель по элементам первой строки:

.

Сократив на 5, получим уравнение искомой плоскости Q:

(Q). (2)

2) Канонические уравнения прямой в пространстве имеет вид

, (3)

где - координаты точки, через которую проходит прямая (3), а m,n,p - направляющие коэффициенты этой прямой. По условию прямая проходит через точку М(-11;8;10) и перпендикулярна плоскости Q. Следовательно, подставив в (3) координаты точки М и заменив соответственно числа m,n,p числами 2;-1;-2 (коэффициенты общего уравнения плоскости (2)), получим

. (4)

3) Чтобы найти точки пересечения прямой (4) с плоскостью (2), запишем сначала уравнения прямой (4) в параметрическом виде. Пусть , где t - некоторый параметр. Тогда уравнения прямой можно записать так:

; ; . (5)

Подставляя (5) в (2), получим значение параметра t:

Подставив в (5) t=6, находим координаты точки Р пересечения прямой (4) с плоскостью (2):

x=1; y=2; z=-2; P(-1;2;-2).

Пусть - точка пересечения прямой (4) с координатной плоскостью xOy; уравнение этой плоскости z=0. При z=0 из (5) получаем

; ; ; .

Пусть - точка пересечения прямой (4) с плоскостью xOz; уравнение этой плоскости y=0. При y=0 из (5) получаем

; ; ; .

Пусть - точка пересечения прямой (4) с плоскостью yOz.

Уравнение этой плоскости x=0. При x=0 из (5) получаем

; ; ; .

Тема:5 Предел функции. Непрерывность функции, точки разрыва. (задачи 51-60,61-70). Перед выполнением задач необходимо изучить раздел 12 ДЕ-4(математический анализ) рабочей программы.