Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Решение типового примера. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А(2;1;0);В(3;-1;2), С(13;3;10), D(0;1;4)



Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А(2;1;0);В(3;-1;2), С(13;3;10), D(0;1;4). Требуется: 1)записать векторы , , и в системе орт и найти модули этих векторов; 2)найти угол между векторами и ; 3) найти площадь грани АВС; 4) найти объем пирамиды ABCD; 5) уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, и С; 6) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости Q,; 7) точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q, и с координатными плоскостями xOy, xOz, yOz;

Решение.

1) Произвольный вектор может быть представлен в системе орт следующей формулой:

, (1)

где - проекции вектора на координатные оси Ox,Oy,Oz,

- единичные векторы, направления которых совпадают с положительным направлением осей Ox,Oy,Oz. Если даны точки и , то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:

; ; . (2)

Тогда

(3)

Подставив в (3) координаты точек А и В, получим вектор :

.

Аналогично, получим:

; .

Если вектор задан формулой (1), то его модуль вычисляется по формуле

. (4)

Применяя (4), получим модули найденных векторов:

, , .

2) Косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей.

(5)

Находим скалярное произведение векторов и :

.

Модули этих векторов уже найдены , .

Следовательно,

; .

3) Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Обозначим векторное произведение вектора на вектор через вектор . Тогда, как известно, модуль вектора

выражает собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а площадь грани АВС будет равна половине модуля вектора :

;

; кв.ед.

4) Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение :

.

Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб.ед.,

объем заданной пирамиды ABCD равен объема параллелепипеда,т.е. куб.ед.

Тема:4 Аналитическая геометрия в пространстве (задачи 41-50). Перед выполнением задач необходимо изучить раздел 7 ДЕ-2 (аналитическая геометрия).

41-50. Даны координаты точек А, В, С и М.

Найти: 1. уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, и С;

2.канонические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q,;

3.точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q, и с координатными плоскостями xOy, xOz, yOz;

  А(3;-1;5) В(7;1;1) С(4;-2;1) М(5;1;0)
  А(-1;2;3) В(3;4;-1) С(4;-2;1) М(7;0;1)
  А(2;-3;7) В(6;-1;3) С(3;-4;3) М(-2;3;-2)
  А(0;-2;6) В(4;0;2) С(1;-3;2) М(-1;5;6)
  А(-3;1;2) В(1;3;-2) С(-2;0;-2) М(3;4;0)
  А(-2;3;1) В(2;5;-3) С(-1;2;-3) М(-3;2;-3)
  А(-4;0;8) В(0;2;4) С(-3;-1;4) М(7;1;2)
  А(1;4;0) В(5;6;-4) С(2;3;-4) М(1;4;1)
  А(4;-4;9) В(8;-2;5) С(5;-5;5) М(4;2;-1)
  А(5;5;4) В(9;7;0) С(6;4;0) М(1;3;6)




Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 978 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...