Аппроксимация интегралов по объему

Некоторые переменные в исходных дифференциальных уравнениях тре­буют интегрирования по всему контрольному объему. Самая простая аппроксимация второго порядка точности должна заме­нить интеграл по объему произведением среднего значения подынтегрального выражения и объема контрольного объема и аппроксимировать форму как значение в центре кон­трольного объема:

, (1.6)

где q _Pзамещает значение q в центре контрольного объема. Это количество легко вычисляется; так как все переменные дос­тупны в узле P, и нет необходимости в интерполяции. Выше­упомянутая аппроксимация становится точной, если q - посто­янная или изменяется линейно в пределах контрольного объ­ема; иначе, она содержит ошибку второго порядка.

Аппроксимация высшего порядка требует значений q в боль­шем количестве точек, чем только в центре. Эти значения должны быть получены, интерполируя значения в узлах или, эквивалентно, при использовании функций формы.

В двухмерной постановке объемный интеграл становится ин­тегралом поверхно­сти. Аппроксимация четвертого порядка мо­жет быть получена при использовании биквадратной функции формы:

(1.7)

Эти девять коэффициентов получены путем приспособле­ния функции к значениям q в девяти точках ('nw', 'w', 'sw', 'n', P, V, 'ne', 'e' и 'se', см. рис. 1.9). Интеграл может тогда быть вычис­лен. В двухмерном случае интегрирование дает (для сеток в де­картовой системе координат):

. (1.8)

В этом случае должны быть определены только четыре ко­эффициента, но они зависят от значений q во всех девяти упо­мянутых выше точках. На равномерной сетке в декартовой сис­теме координат мы получаем:

. (1.9)

Так как имеется значение только в узле P, интерполяция должна использоваться так, чтобы получить q в других точках. Это должен быть, по крайней мере, четвер­тый порядок точности, удерживающий точность интегральной аппроксимации.

Вышеупомянутая аппроксимация четвертого порядка инте­грала по объему в двухмерном случае может использоваться для того, чтобы аппроксими­ровать поверхностные интегралы в трех­мерной постановке. Аппроксимации более высокого порядка объемных интегралов в трехмерном случае являются более слож­ными, но могут быть найдены, используя те же самые ме­тоды.