Расчетная конечноэлементная сетка

Положения дискретных точек, в которых вычисляются пе­ременные, определяются расчетной конечноэлементной сеткой, которая является по существу дискретным представлением гео­метрической области течения. Она делит расчетную область на конечное число подобластей (элементы, контрольные объемы и т.д.). Расчетная сетка делится на следующие типы:

• Структурированная (регулярная) сетка. Регулярные или структурированные сетки состоят из рядов линий координатной сетки, элементы одного рода не пересекают друг друга и пересе­кают каждый элемент других родов только однажды. Это по­зволяет линии данного множества пронумеровать последова­тельно. Позиция любой сеточной точки (или контрольного объ­ема) в пределах области однозначно определена индексом в два (в двумерном поле) или в три номера (в трехмерном поле), на­пример (i, j, k). Это самая простая сеточная структура, так как она логически эквивалентна декартовой системе координат. У каждой точки есть четыре самых близких соседа в двухмерном пространстве и шесть в трехмерном; один из индексов каждого соседа точки P (индексы i, j, k) отличается на ±1 от соответст­вующего индекса P. Пример структурированной двумерной сетки показан на рис. 1.1. Это задание соседних связей упро­щает программирование и у мат­рицы системы алгебраических уравнений есть регулярная структура, которая может использо­ваться в создании метода решения. Недостатком структуриро­ванных сеток является то, что они могут быть построены только для геометрически простых об­ластей решения. Другой недоста­ток заключается в трудности управления распределением се­точных точек: большая концен­трация точек в одной области для обеспечения точности резуль­татов расчета создает излишне ма­лый интервал в других частях области решения и обуславливает неоправ­данные затраты ресур­сов. Эта проблема осложня­ется в трехмерных зада­чах. Длинные тонкие ячейки также могут также затруднить сходимость решения.

Все структурирован­ные расчетные конечно­элементные сетки можно разделить на несколько групп (см. рис. 1.2) [4]: типы Н, С, О и комбинированный.

Их названия получены от форм линий координатной сетки.

Рис. 1.2. Типы расчетных ортогональных сеток [4]: а – Н сетка; б – С сетка; в – О сетка; г – комбинированная сетка

Сетка тина Н (рис. 1.2, а) строится просто, обычно не требует интерполяции. Ее основной недостаток - скошенность ячеек вблизи круглых кромок и в межлопаточных каналах со значи­тельным поворотом потока, что повышает по­грешность аппрок­симации.

Сетки типа С и О (рис. 1.2, б, в) лишены этого недос­татка, однако они сложнее в построении. Поэтому часто эти сетки ис­пользуются в комбинации с сет­ками типа Н (рис. 1.2, г)

Обойти указанные трудности построения сеток можно с по­мощью использования неструктурной сетки, основанной на тре­угольных или полиэдральных элементах. Подобным образом возможно описание расчет­ной области любой формы. Однако при этом значительно ус­ложняется алгоритм решения, вносится существенная аппрокси­мационная погрешность и большая схем­ная диффузия, что за­ставляет прибегать к существенному сгуще­нию сетки [4,7].

На рис. 1.3 показано, сетка O- типа построенная вокруг ци­линдра. У этого типа сетки одно множе­ство координатных ли­ний "бесконечно". Если следовать за коор­динатой вокруг цилин­дра, вдоль линии координатной сетки, то она будет непрерывно увеличиваться и необходимо избегать ис­пользования искусст­венного "разрыва", при котором координата получает нулевое или конечное значение. При разрыве сетка может быть "развер­нута", но соседние точки, оказавшиеся на границах разрыва, должны рассчитываться как внутренние точки сетки, в отличие от подхода, примененного на границах сетки H- типа. Внешняя сетка на рис. 1.3 имеет также H- тип. Сетка из блоков вокруг подводного крыла на рис. 1.5 имеет C- тип. У этого типа сетки точки на концах одной координатной линии совпадают, требуя введения разрыва, подобного использован­ному в сетках O- типа. Этот тип сетки часто используется для тел с крутоизогну­тыми профилями.

Рис. 1.3. Пример двумерной блочной сетки [18]

Независимо от типа ячеек возникает необходимость в блоч­ной структуре сетки. Для сложных расчетов блоки могут разме­щаться нерегулярно, но внутри блоков желательно иметь струк­турированную сетку. Различные блоки могут соединяться между собой интегрально (узел в узел) – блочная сетка с сопрягающи­мися поверхностями; или по поверхностям раздела ячеек (см. рис. 1.4) – блочная сетка с не­сопрягающимися поверхностями. Однако второй вид сопряжения приводит к снижению точности расчета.

На рис. 1.3 показана блочная сетка с сопрягающимися по­верхностями раздела; она создана для расчета двумерного потока в канале вокруг цилиндра и содержит три блока.

Рис. 1.4. Типы сопряжения конечно-элементных расчетных сеток

На рис. 1.5 показана сетка из блоков с несопрягающимися поверхностями раздела; она использовалась, для расчета течения вокруг затопленного подводного крыла. Она состоит из пяти блоков с сетками с различными размерами конечных элементов. Этот вид сетки более гибкий, чем предыдущие, поскольку он допускает ис­пользование более мелких сеток в областях, где она требуется.

Рис. 1.5. Пример двумерной блочной сетки, с несопрягающимися поверх­ностями раздела [18]

Сетки с накладывающимися блоками иногда называют сет­ками химерами или составными объектами. Одна такая сетка по­казана на рис. 1.6. В области перекрытия граничные условия для одного блока получены интерполяцией решений другого блока (с которым перекрывается первый). Этот тип сетки ис­поль­зуется редко. Их недостаток заключается в том, что трудно обеспечить законы сохранения по грани­цам блоков. Преимуще­ства этого подхода состоят в том, что с комплексными облас­тями дело иметь легче, и он может исполь­зоваться с движущи­мися телами.

Рис. 1.6. Составная двумерная сетка, используемая, чтобы вычислить по­ток вокруг цилиндра в канале [1]

Неструктурированные сетки являются самым гибким типом сетки для очень сложных конфигураций. Т.е. такой, который может ис­пользоваться для расчетной области с произвольной границей. В принципе, такие сетки могут использоваться с лю­бой схемой дискретизации, но лучше всего они подходят к ме­тодам конеч­ных объемов и конечных элементов. У элементов или кон­трольных объемов может быть любая форма, и при этом нет ог­раничения числа соседних элементов или узлов. На прак­тике чаще всего используются сетки, состоящие из треугольни­ков или четырехугольников в двумерном, и тетраэдров или гекса­эдров в трехмерном поле течения. Такие сетки могут быть сге­нерированы автоматически существующими алгоритмами. Классификация неструктури­рованных расчетных сеток приве­дена на рис 1.7.

Особо следует отметить полиэдральные сетки – сетки в виде многогранников. Они стали доступны в CFD программах отно­сительно недавно. При равном числе конечных элементов поли­эд­ральная сетка значительно превосходит тетраэдральную по точ­ности расчета. За счет большего числа граней на одну ячейку, по­лиэдральная сетка гораздо точнее рассчитывает градиенты из­ме­нения параметров.

Рис. 1.7. Классификация неструктурированных расчетных сеток

При построении расчетных сеток при­держиваются двух пра­вил [1,7,8,12].

- в области повышенных градиентов (скорости, давления, температуры) необходимо применять сетку повышенной плотности (густоты);

- грани конечных объемов (элементов) должны быть сориен­тированы по линиям тока течения рабочего тела.

Для выполнения второго правила предпочтительнее исполь­зовать гексаэдральные конечные элементы в трехмерных расчет­ных моделях и четырехугольные в двухмерных.