Линейная интерполяция (CD)

Другая прямая аппроксимация для значения в центре грани контрольного объема – линейная интерполяция между двумя самыми близкими узлами. В месте 'e' сетки в декартовой СК имеем (см. рис. 1.9 и 1.10):

, (1.13)

где линейный коэффициент интерполяции λ определен как:

. (1.14)

Уравнение (1.13) является уравнением второго порядка точ­ности, что может быть показано при использовании разложении в ряд Тей­лора φβ в точке x _p, чтобы устранить первую производ­ную в урав­нении (1.11). Результат:

.

Основная погрешность метода пропорциональна квадрату се­точного интервала на равномерных или неравномерных сетках.

Как со всеми аппроксимациями порядка выше первого по­рядка, эта схема может приводить к колебательным решениям. Это самая простая схема второго порядка. Она является наибо­лее широко используемой и соответствует аппроксимации цен­тральной разности первой производной в методах МКР и полу­чила название CD.

Предположение о линейной связи между узлами Ρ и Ε также предлагает самую простую аппроксимацию градиента, который необходим для оценки диффузионных потоков:

.

При использовании разложения в ряд Тейлора вокруг f _e можно показать, что погрешность метода вышеупомянутой ап­проксимации:

Когда точка 'e' находится на середине между узлами Ε (на­пример, при регулярной сетке) и аппроксимация имеет точность второго порядка, так как первый член на правой стороне обра­щается в нуль, и ведущий остаточный член тогда пропорциона­лен (Δх)². Ко­гда сетка неравномерна, ведущий остаточный член пропорциона­лен произведению Dх и сеточного коэффициента расширения. Несмотря на формальную точность первого уровня, снижение ошибки на усовершенствованной сетке, по­добно аппроксима­ции второго порядка даже на неравномерных сетках.