Аппроксимация интегралов по поверхностям

На рисунках 1.9 и 1.10 показаны типичные двухмерные и трехмерные кон­трольные объемы в декартовой системе коорди­нат. Поверхность контрольного объема состоит из четырех (в двухмерной постановке) или шести (в трехмерной) граней плоскостей, обозначенных строчными буквами, со­ответствую­щими их направлению (e, w, n, s, t, и b) относи­тельно цен­трального узла (P). Двухмерный вариант может быть принят как частный случай трехмерного, в котором зависимые перемен­ные неза­висимы от z.

Поток через границу контрольного объема – это сумма ин­тегралов по четырем (в двухмерном случае) или шести (в трех­мерном) граням контроль­ного объема:

, (1.2)

где f компонент конвективного или диффузионного ( ) вектора потока в направлении, нормальном к грани контрольного объема.

Поскольку скоростное поле и свойства жидкости приняты известными, единственная неизвестная переменная – φ. Если поле скоростей не известно – значит это более сложная задача, включающая двойные нелинейные уравнения.

Для поддержания уравнения сохранения важно, чтобы кон­трольные объемы не накладывались друг на друга; каждая грань контроль­ного объема является единственной для двух контроль­ных объе­мов, которые лежат с обеих сторон.

В дальнейшем, будет рассмотрена только грань ' e ' типичная для двухмерного контрольного объема показанного на рис. 1.9. Аналогич­ные выражения могут быть получены для всех граней, делая со­ответствующие подстановки индекса.

Рис. 1.9. Типичный двухмерный контрольный объем в декартовой системе коорди­нат [18]

Рис. 1.10. Типичный трехмерный контрольный объем в декартовой сис­теме коор­динат [18]

Чтобы точно вычислить интеграл по поверхности в урав­не­нии (1.2), единственное, что нужно знать - это подынтеграль­ное выражение f по всей поверхности S_e, которое не известно. Как только значения в узлах φ (центр контрольного объема) будут вы­числены, аппроксимация может быть возможна. Это лучше всего сделать, используя два уровня аппроксимации:

- интеграл аппроксимирован в терминах переменных зна­чений в одном или более местоположениях на грани ячейки;

- номинальные значения ячейки аппроксимированы в терминах узлового (центра контрольного объема) значения.

Самая простая аппроксимация по интегралу - это правило середины: интеграл аппроксимирован как произведение подын­тегрального выражения в центре грани ячейки (который явля­ется самостоятельно аппроксимацией к среднему значению по поверхности) и области грани ячейки:

. (1.3)

Эта аппроксимация интеграла обеспечивает значение f в ме­стоположении 'e' иимеет точность второго порядка.

Так как значение f не доступно в центре грани 'e', оно должно быть получено интерполяцией. Чтобы сохранить точ­ность второго порядка аппроксимации правила середины по­верхностного интеграла, значение f _e должно быть вычислено с точностью, по крайней мере второго порядка.

Другая аппрокси­мация второго порядка поверхностного ин­теграла для двухмерного случая – пра­вило трапеций, которая приведена:

. (1.4)

В этом случае необходимо оценить поток в углах контроль­ного объема.

Для аппроксимации более высокого порядка поверхност­ных интегралов поток должен быть оценен в более чем двух точках. Аппроксимация четвертого порядка – правило Симп­сона, которое оценивает интеграл по S_e как:

. (1.5)

Здесь значения f необходимо знать в трех точ­ках: в центре грани 'e' и двух углах 'ne' и 'se'. Чтобы сохранить точность четвер­того порядка, эти значения должны быть полу­чены интерпо­ляцией узловых значений, по крайней мере столь же точных как правило Симпсона.

В трехмерном случае, правило середины – самая простая ап­проксимация второго порядка. Аппроксимации более высокого порядка, ко­торые требуют подынтегрального выражения в рас­положениях кроме центра грани ячейки (например, углах и цен­трах краев) возможны, но они являются более трудными для осуществления.

Если у вариации f, как предполагается, есть некоторая спе­цифическая простая форма (например, интерполяционный многочлен), интегрирование сделать легко. Точность аппрок­симации тогда зависит от порядка функций формы.