![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
101) Если степенной ряд сходится в точке x1 неравной нулю, то этот ряд сходится (причем абсолютно) во всех |x|< |x1|
а если степенной ряд расход. В точке x2 неравной нулю, то этот ряд расходится во всех |x|< |x2|
Ряд , сходящийся в точке х = -3, не может расходиться в точке х = 2, т.к.
, следовательно согласно теореме Абеля ряд в точке х = 2 сходится, и притом абсолютно.
102) Теорема: Пусть функция f(x) разлагается на интервале (-R,R) в степенной ряд
f(x) = (1). Рассмотрим степенной ряд
(2), полученный почленным дифференцированием ряда (1). Тогда:
1) ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1);
на всем интервале (-R,R) функция f(x) имеет производную f (x), которая разлагается в степенной ряд (2)
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУН-И В Р. ТЕЙЛОРА (МАК.)
103) Если f(x) все производные т-порядка ограничены в совокупности, т.е.
То f(x) разлагается в степенной ряд на (-R;R) т.е. ряд Маклорена сходится к своей функции.
Доказательство
При х=0 получаем
Отсюда ряд Маклорена для sinx:
104) Если f(x) все производные т-порядка ограничены в совокупности, т.е.
То f(x) разлагается в степенной ряд на (-R;R) т.е. ряд Маклорена сходится к своей функции.
Доказательство:
В любом интервале (-r;r) имеем
В силу достат. условия следует, что функция еХ равна сумме своего ряда Маклорена при х, принадл.(-r;r), а значит, и для любого x ввиду производительности r. Поскольку f(n)(0)=e0=1 при любом n, получаем разложение справедливое для всех х.
105) Если функция f(x) на (-R;R) разлагается в степенной ряд , то f(x) на (-R;R) интегрируема, причем на
Найдем разложение функции f(x) = arctg x. Для этого проинтегрируем g(x)=1/1+х2. Получим разложение:
arctg x=х-х3/3+х5/5-…+(-1)n *x2n+1/2n+1+…, верное при |x|<1.
106) ех=е+е(х-1)+е/2*(х-2)2+…+е/n!*(х-1)n+(х-1)n.
107)
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 292 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!