СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. 101) Если степенной ряд сходится в точке x1 неравной нулю, то этот ряд сходится (причем абсолютно) во всех |x|< |x1|

101) Если степенной ряд сходится в точке x₁ неравной нулю, то этот ряд сходится (причем абсолютно) во всех |x|< |x₁|

а если степенной ряд расход. В точке x₂ неравной нулю, то этот ряд расходится во всех |x|< |x₂|

Ряд , сходящийся в точке х = -3, не может расходиться в точке х = 2, т.к. , следовательно согласно теореме Абеля ряд в точке х = 2 сходится, и притом абсолютно.

102) Теорема: Пусть функция f(x) разлагается на интервале (-R,R) в степенной ряд

f(x) = (1). Рассмотрим степенной ряд (2), полученный почленным дифференцированием ряда (1). Тогда:

1) ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1);

на всем интервале (-R,R) функция f(x) имеет производную f (x), которая разлагается в степенной ряд (2)

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУН-И В Р. ТЕЙЛОРА (МАК.)

103) Если f(x) все производные т-порядка ограничены в совокупности, т.е.

То f(x) разлагается в степенной ряд на (-R;R) т.е. ряд Маклорена сходится к своей функции.

Доказательство

При х=0 получаем

Отсюда ряд Маклорена для sinx:

104) Если f(x) все производные т-порядка ограничены в совокупности, т.е.

То f(x) разлагается в степенной ряд на (-R;R) т.е. ряд Маклорена сходится к своей функции.

Доказательство:

В любом интервале (-r;r) имеем

В силу достат. условия следует, что функция е^Х равна сумме своего ряда Маклорена при х, принадл.(-r;r), а значит, и для любого x ввиду производительности r. Поскольку f⁽ⁿ⁾(0)=e⁰=1 при любом n, получаем разложение справедливое для всех х.

105) Если функция f(x) на (-R;R) разлагается в степенной ряд , то f(x) на (-R;R) интегрируема, причем на

Найдем разложение функции f(x) = arctg x. Для этого проинтегрируем g(x)=1/1+х². Получим разложение:

arctg x=х-х³/3+х⁵/5-…+(-1)ⁿ *x²ⁿ⁺¹/2n+1+…, верное при |x|<1.

106) е^х=е+е(х-1)+е/2*(х-2)²+…+е/n!*(х-1)ⁿ+(х-1)ⁿ.

107)