![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
73) Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если для любого функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство
Первообразная не может иметь точку разрыва по Лемме: Если производная функции f(x) равна нулю на промежутке Х, то эта функция постоянна на промежутке Х.
74) Пусть F(x) – первообразная для функции f(x) на промежутке Х; тогда любая другая первообразная для f(x) на Х может быть представлена в виде F(x)+ C, где С - некоторое число.
Док. Пусть Ф(х) некоторая другая первообразная для f(x) на промежутке Х, т.е. . Тогда
По лемме функция Ф(х) = F(x) + C ч.т.д.
75) 1)Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом
2)
вытекает из того, что если F(x) и G(x) – первообразные соответственно для функций f(x) и g(x), то производная их суммы равна сумме их производных.
76) 1)
Док.
2)Неопр. Интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
3) Постоянный множитель можно вынести из под знака неопределенного интеграла:
4)Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых
77) Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции на промежутке Х. Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям
Док. Имеем формулу для дифференциала произведения функций uv: d(uv)= udv + vdu интегрируя обе части равенства получим слева uv по свойству 2 неопределенного интеграла, а справа сумму интегралов, так что
78) Пусть функция
определена и дифференцируема на промежутке T и X – множество ее значений, на котором определена функция f(x). Тогда если F(x) – первообразная для f(x) на Х, то
- первообразная для
на T, т.е. на множестве Т выполняется равенство
Док. По правилу дифференцирования сложной функции производная левой части равенства равна , что совпадает с подынтегральной функцией в правой части равенства (см. выше)
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 207 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!