Первообр. И неопр. Интеграл

73) Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х, если для любого функция F(x) дифференцируема и выполняется равенство

Первообразная не может иметь точку разрыва по Лемме: Если производная функции f(x) равна нулю на промежутке Х, то эта функция постоянна на промежутке Х.

74) Пусть F(x) – первообразная для функции f(x) на промежутке Х; тогда любая другая первообразная для f(x) на Х может быть представлена в виде F(x)+ C, где С - некоторое число.

Док. Пусть Ф(х) некоторая другая первообразная для f(x) на промежутке Х, т.е. . Тогда

По лемме функция Ф(х) = F(x) + C ч.т.д.

75) 1)Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом

2)

вытекает из того, что если F(x) и G(x) – первообразные соответственно для функций f(x) и g(x), то производная их суммы равна сумме их производных.

76) 1)

Док.

2)Неопр. Интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

3) Постоянный множитель можно вынести из под знака неопределенного интеграла:

4)Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых

77) Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции на промежутке Х. Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям

Док. Имеем формулу для дифференциала произведения функций uv: d(uv)= udv + vdu интегрируя обе части равенства получим слева uv по свойству 2 неопределенного интеграла, а справа сумму интегралов, так что

78) Пусть функция определена и дифференцируема на промежутке T и X – множество ее значений, на котором определена функция f(x). Тогда если F(x) – первообразная для f(x) на Х, то - первообразная для на T, т.е. на множестве Т выполняется равенство

Док. По правилу дифференцирования сложной функции производная левой части равенства равна , что совпадает с подынтегральной функцией в правой части равенства (см. выше)