Определенный интеграл. 79) функция y=f(x) называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для

79) Функция y=f(x) называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [a;b]. Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то единственное число, разделяющее эти два множества называют определенным интегралом функции y=f(x) по отрезку[a;b] и обозначают следующим образом:

Пусть на отрезке [a;b] дана ограниченная функция y=f(x). Рассмотрим разбиение T отрезка [a;b] точками деления

a=x_o<x₁<x₂<…..<x_n=b. На каждом отрезке разбиения [x_k,x_k+1] найдем нижнюю и верхнюю грани значения функции y=f(x). В нашем случае m_k=M_k=9.

Нижняя сумма Дарбу s_t= m_k*Δx_k и верхнюю сумму Дарбу

S_t= M_k* Δx_k.

Для того чтобы функция y=f(x), определенная и ограниченная на отрезке [a;b], была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 существовало разбиение T такое, что S_t-s_t<ε, т.е.

9 Δx_k- 9 Δx_k=0<ε – верно при любом x.

80) Функция Дирихле - не является интегрируемой на [0;1].

Док. Каково бы ни было разбиение T, в любом отрезке разбиения [x_k; x_k+1] обязательно содержится как рациональные, так и иррациональные точки, поэтому для любого отрезка и . Тогда все нижние суммы Дарбу , поскольку все m_k =0, и все верхние суммы Дарбу , т.к. - длина отрезка [0;1]. Таким образом множество нижних сумм состоит из одного числа Х={0}, а множество верхних сумм – из одного числа Y={1}, так что любое число из отрезка [0;1] разделяет множества X и Y. Т.о. функция Дирихле не является интегрируемой на отрезке

81) Найдем производную ф-ции

выберем столь малое тогда . Имеем

Далее получим:

где промежуточная точка С находится между

поэтому: Т.к. Т.о. ч.т.д.

82) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – первообразная для f(x). Тогда

Док. Поскольку функ. f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет на нем первообразную, а именно, функцию Ф(х). Промеряем а подставляя х=а, получим Т.о.

Если F(x) – другая первообразная для ф-ции f(x), то выполняется равенство F(x)=Ф(х)+С. Имеем

83) Интеграл от суммы двух функций f(x) и g(x) по отрезку [a,b] равен сумме интегралов от этих функций по тому же отрезку:

Док. Из св-в неопределенного интеграла следует, что если F(x) первообразная для ф-ции f(x), а G(x) – первообр. для g(x), то первообразной для суммы функций f(x) + g(x) будет сумма первообразных F(x) и G(x) Следовательно

84) Замена переменной x=-t; t=-x