Однородные функции

61) Функция определенная на множестве {М}, называется однородной функцией степени на этом множестве, если для любой точки М(x₁;x₂;…x_m) этого множества и для каждого числа t, для которого точка N (tx₁;tx₂…tx_m) также принадлежит {М}, выполняется равенство

62) Пусть D из Rⁿ – область в Rⁿ, содержащая с каждой своей точкой (x₁, x₂, …., x_n) и все точки вида (tx₁, tx₂, …., tx_n) при t>0 функция f(x₁, x₂, …., x_n) с такой областью определения D называется однородной степени λ, если для любого t>0 выполнятся равенство f (tx₁, tx₂, …., tx_n)=t^λ f(x₁, x₂, …., x_n).

Пример однородной функции степени 3:

F (x,y)=x²

F (tx, ty)=t²x²√(tx*ty)=t³ F (x,y)

63) Док-ть:

Предположим, что дифференцируемая функция f(x,y) является одновременно и однородной функцией степени . Фиксируя произвольную точку (x,y), для любого t>0 имеем Продифференцируем левую и правую части этого равенства по t, тогда получим: Предположив t=1, получим формулу Эйлера: