Числ. Ряды с неотрицат. Членами

96) Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Док. Необходимость ряд a₁+a₂+a₃+…+a_n+.. – сходится. Тогда существует предел его частичных сумм. Из свойств пределов следует, что последовательность его частичных сумм ограничена.

Достаточность Поскольку все члены данного ряда положительны для любого n S_n = S_n-1+a_n то последовательность его частичных сумм монотонно возрастает. Однако известно, что ограниченная последовательность имеет предел.

97) Если для ряда с положительными членами, конечный предел

то при d >1 ряд расходится, d <1 ряд сходится.

Доказательство.

(1) d<1 т.к.

то

суммир. (k-1) нер-в

сход.

(2) d >1 т.к.

то

т.е. последовательность {u_n}возр.

ряд расходится (необ. пр.)

98) Теорема. если сущ-т предел lim_n→∞ a_n+1/a_n=d(*),то ряд сходится в случае d<1 и расх,если d>1.

Док-во: пусть d<1.возьмем некот-е число q между d и 1:d<q<1.из (*) след, что,начиная с некоторого номера n,будет выполняться нер-во a_n+1/a_n q.отсюда следует сход-ть ряда(по признаку Даламбера). случай d>1 разбирается аналогично.

При d=1 возможна как сх-ть, так и расх-ть ряда.напр, гарм.ряд, для к-го d=1, расх, а ряд 1/2²+1/3²+…+1/(n+1)²+…,для к-го также d=1,сх-ся.

По призн.Даламб.можно оценить также остаток ряда.R_n=a_n+1+a_n+2+… a_n+1+a_n+1q+a_n+1q²+…,т.е R_n a/(1-q)

Пример:1/n²,т.к…

99) Имеется ряд расходимость, которого не так очевидна.

1+1/2+1/3+1/4+1/5+….+1/n - гармонический (расход.)

Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как (1)

Но

т.е. что противоречит (1), т.е. ряд гармонический расходится.