![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
96) Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
Док. Необходимость ряд a1+a2+a3+…+an+.. – сходится. Тогда существует предел его частичных сумм. Из свойств пределов следует, что последовательность его частичных сумм ограничена.
Достаточность Поскольку все члены данного ряда положительны для любого n Sn = Sn-1+an то последовательность его частичных сумм монотонно возрастает. Однако известно, что ограниченная последовательность имеет предел.
97) Если для ряда с положительными членами, конечный предел
то при d >1 ряд расходится, d <1 ряд сходится.
Доказательство.
(1) d<1 т.к.
то
суммир. (k-1) нер-в
сход.
(2) d >1 т.к.
то
т.е. последовательность {un}возр.
ряд расходится (необ. пр.)
98) Теорема. если сущ-т предел limn→∞ an+1/an=d(*),то ряд сходится в случае d<1 и расх,если d>1.
Док-во: пусть d<1.возьмем некот-е число q между d и 1:d<q<1.из (*) след, что,начиная с некоторого номера n,будет выполняться нер-во an+1/an q.отсюда следует сход-ть ряда(по признаку Даламбера). случай d>1 разбирается аналогично.
При d=1 возможна как сх-ть, так и расх-ть ряда.напр, гарм.ряд, для к-го d=1, расх, а ряд 1/22+1/32+…+1/(n+1)2+…,для к-го также d=1,сх-ся.
По призн.Даламб.можно оценить также остаток ряда.Rn=an+1+an+2+… an+1+an+1q+an+1q2+…,т.е Rn
a/(1-q)
Пример:1/n2,т.к…
99) Имеется ряд расходимость, которого не так очевидна.
1+1/2+1/3+1/4+1/5+….+1/n - гармонический (расход.)
Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как (1)
Но
т.е. что противоречит (1), т.е. ряд гармонический расходится.
Дата публикования: 2015-02-22; Прочитано: 168 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!