Сходимость и сумма числового ряда

91) Пусть {u_n}- числ. послед.; Числовым рядом называется бесконечная сумма членов послед. u_n

т.е. u₁+u₂+…+u_n+…

ОБОЗНАЧЕНИЕ:

Суммой числового ряда называется конечный предел последоват. его частичных сумм, если существует.

ОБОЗНАЧЕНИЕ:

Запишем как: 1+1*0,2+1*

Это геометрическая прогрессия: b=1, q=0,2. Значит:

92)

т.к. ряд геометрический, то b₁=1 q-знаменатель

(1случай)

А) |q|<1

Б) |q|>1

(2случай) |q|=1

А) q=1

Б) q=-1

при расходится.

93) Ряд 2х сумм = сумме 2х рядов. ∑_(n=1)(a_n+b_n)= ∑_(n=1)a_n+∑_(n=1)b_n,где один расх, другой-сх. Значит, ∑_(n=1)(a_n+b_n)расх.

94) Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю. (Если предел равен нулю ряд необязательно сходится, например НО он расходится.

Доказательство. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального n имеем , или (1)

При обе частичные суммы и

Стремятся к пределу S, поэтому из равенства (1) следует, что

Пример: В этом случае предел общего члена ряда, очевидно, равен нулю, однако ряд расходится. Действительно, если бы данный ряд сходился, то сходился бы и ряд , полученный из данного ряда группировкой членов. Но общий член последнего ряда равен 1, и для него не выполнен необходимый признак сходимости.

95)