Частные производные, дифференциал

57) Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремиться к нулю.

58) Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке (x₀,y₀), если ее полное приращение можно представить в виде

Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Необходимо проверить, что когда . Проверим вычислением:

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ (GRAD)

59) Градиент ф-ции в точке М называется вектор координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции в точке М. Так для ф-ции двух переменных f(x,y) имеем т.о. используя формулу вычисления производной дифференцируемой функции z=f(x,y) в точке (x₀;y₀) в направлении e: получим формулу: , где - скалярное произведение векторов.

60) Градиентом ф-ции z= f(x,y) в точке M(x,y) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным , взятым в точке M(x,y).

По определению скалярного произведения . Учитывая, что . Из последнего следует, что производная по направлению имеет наибольшую величину при , то есть когда направление вектора совпадает с направлением .