Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Квадратичную форму можно записать и при помощи матрицы. Для этого вектору из Rⁿ поставим в соответствие две матрицы: матрицу-столбец и матрицу-строку X ^Т = (m ₁, m ₂ ,..., m_n). Ясно, что X ^Т является транспонированной матрицей к X. Для коэффициентов s_ij квадратичной формы введем действительную матрицу

. Тогда

.

Матрица А называется матрицей квадратичной формы и поскольку для коэффициентов квадратичной формы s_ij = s_ji, то матрица А является симметрической.

Рассмотрим, как изменяется матрица А при переходе в Rⁿ от одного ортонормированного базиса к другому. Обозначим матрицу перехода через Т, а координаты вектора в новом базисе через . Тогда , или в матричной форме X = TY, где Т ортогональная матрица. Поэтому для квадратичной формы имеем

, где В = Т ^Т АТ.

Но так как Т ортогональна, то Т ^Т = Т ^–1; значит В = Т ^–1 АТ, т.е. В преобразована из А посредством матрицы Т. Кроме того, преобразованная матрица В – тоже симметрическая, ибо

В ^Т = (Т ^–1 АТ) ^Т = (Т ^Т АТ) ^Т = Т ^Т А ^Т(Т ^Т)^Т = Т ^Т АТ = В.

Поскольку А ^Т = А.

Так как матрица А симметрическая, то Rⁿ обладает хотя бы одним ортонормированным базисом , составленным из собственных векторов матрицы А; тогда если в качестве нового базиса выбрать базис , то преобразованная матрица в этом базисе и имеет диагональный вид

здесь собственные значения r_i матрицы А могут быть как различные, так и совпадающие, но все действительные. Если матрица квадратичной формы диагональная, то квадратичная форма принимает вид:

, где z ₁, z ₂ ,... z_n – координаты вектора , разложенным по базису .

Таким образом, относительно базиса , составленного из собственных векторов матрицы квадратичной формы, квадратичная форма имеет только члены с квадратами; говорят, что она приведена к каноническому виду.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

= 3 х + 4 х ₁ х ₂ + х , где .

1. Составляем матрицу квадратичной формы:

(см. пример в начале параграфа).

2. Записываем характеристическое уравнение

, откуда (1- r)(r ² - 3 r - 4)=0.

Решая последнее уравнение, находим собственные числа: r ₁ = 1; r ₂ = 4;

r ₃ = -1. Обозначим координаты вектора в системе собственных векторов матрицы через z ₁, z ₂, z ₃. Тогда квадратичная форма имеет вид

.

3. Находим ортонормированные собственные вектора матрицы:

; ; . Для этого уравнение А () = записываем в координатной форме:

или

Положим . Тогда система принимает вид:

Эта сиcтема имеет единственное решение , . Величина компоненты любая. Чтобы вектор был нормированным, т.е. чтобы , примем . Имеем .

Поскольку , то система принимает вид:

Отсюда , , , где любое действительное число. Нормируя, получаем Þ ; ; . Следовательно, .

Для третьего собственного числа имеем систему:

Отсюда , , , где – любое действительное число. Нормируя , находим , , , т.е. вектор . Таким образом, собственные векторы квадратичной формы: , , , а каноническая форма квадратичной формы: .