Вещественные линейные и квадратичные формы

Рассмотрим векторное пространство Rⁿ над полем R,в котором задан базис и пусть – произвольный вектор этого пространства, m_i Î R.

Определение 1. Вещественной линейной формой j называется линейное отображение пространства Rⁿ в R, которое каждому ставит в соответствие число из R, где l_i и m_i – числа из R. Линейную форму называют также однородной формой первой степени, и чаще всего ее записывают в следующем виде:

, где .

Определение 2. Вещественной квадратичной формой w называется линейное отображение Rⁿ в R, которое каждому ставит в соответствие число из R, где – координаты вектора , – числа из R,для которых выполняется равенство .

Из определения следует, что . Поэтому квадратичная форма есть однородная форма второй степени.

Пример.

=