Изоморфизм между векторным пространством

МАТРИЦ И ВЕКТОРНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ Р^п НАД ПОЛЕМ Р

Как мы уже говорили, матрице А размером k × m можно поставить в соответствие упорядоченную систему из m вектор-столбцов в пространстве Р^k, либо из к вектор-строк в пространстве Р^m. Обе упорядоченные системы векторов и – есть элементы одного и того же векторного пространства Рⁿ, где n = k·m, которое и является изоморфным для векторного пространства матриц размером k × m. Действительно,

и .

Рассмотрим теперь систему, состоящую из одного вектора . Очевидно, что этот вектор через свои компоненты в пространстве матриц будет ассоциироваться с матрицами размером 1´ n, либо n ´1; матрица размером 1´ n; матрица размером n ´1. Ясно, что отображение есть изоморфизм, ибо

Используя указанный изоморфизм, покажем, как представляется отображение , где в пространстве матриц.

Пусть отображение А пространства Р^m в Р^k задано формулами:

b ₁ = a ₁₁ l ₁ + a ₁₂ l ₂ +... + a _{1 m}l_m,

b ₂ = a ₂₁ l ₁ + a ₂₂ l ₂ +... + a _{2 m}l_m,

..........................

b_к = a_{k 1} l ₁ + a_{k 2} l ₂ +... + a_kml_m .

Вектору с компонентами (b ₁, b ₂,..., b_к) из Р^k поставим в соответствие матрицу:

размером k ´1, а вектору с компонентами (l ₁, l ₂,..., l_m) матрицу размером m ´1. Тогда отображение, определяемое матрицей

А = размером k × m в пространстве матриц определяется той же матрицей А и представляется в виде:

® = ·

В заключение рассмотрим, как в пространстве матриц отображается скалярное произведение двух векторов из пространства .