Скалярное произведение двух свободных векторов

Определение. Скалярным произведением × (другое обозначение (, )) двух свободных векторов и , в случае, если эти векторы не нулевые, называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними

× = | |×| | cosj. (4.4)

Если = или = (или = = ), то скалярное произведение × по определению, считается равным нулю.

Следствия.

1. Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

2. Скалярное произведение двух векторов выражается максимальным числом, если векторы коллинеарны и имеют одинаковое направление (j = 0), и минимальным числом, если они коллинеарны, но направлены в противоположную сторону (j = p).

3. Скалярное произведение вектора на равно квадрату модуля вектора : × = | |², отсюда | | = .

Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений их соответствующих координат:

(х ₁, у ₁, z ₁), (х ₂, у ₂, z ₂); × = х ₁· х ₂ + у ₁· у ₂ + z ₁· z ₂ (4.5)