Задание свободных векторов при помощи декартовой системы координат и соответствие их с векторами из векторного

пространства R³

Выберем в пространстве декартовую прямоугольную систему координат x, y, z. Рассмотрим произвольный вектор , который задан направленным отрезком Напомним, что точка А может быть любой точкой пространства. В выбранной системе координат определим координаты начала вектора – точки А и конца этого вектора – точки В (рис.2.4).

Пусть координатами точки А является тройка чисел (х ₁, у ₁, z ₁), а точки В – (х ₂, у ₂, z ₂). Тогда координатами вектора называют упорядоченную тройку чисел (х, у, z), вычисляемые по формулам:

х = х ₂ – х ₁; у = у ₂ – у ₁; z = z ₂– z ₁, (рис.2.4)

Рис. 2.4

Записывают это таким образом (х, у, z)или (а_х, а_у, а_z).

Если начало направленного отрезка совпадает с началом координат А (х ₁, у ₁, z ₁) = О (0, 0, 0,), то направленный отрезок называется радиус-вектором точки В. В этом случае координаты (х, у, z), вектора совпадают с координатами х ₂, у ₂, z ₂ точки В: х = х ₂, у = у ₂, z = z ₂.

Таким образом, выбрав в пространстве декартову систему координат, мы с ее помощью можем установить соответствие между любым вектором , заданным направленным отрезком и вектором из векторного пространства R ³, координаты которого определяются упорядоченной тройкой чисел (х, у, z). Если указанное соответствие, представляющее собой способ нахождения координат методом проектирования, обозначить через f, то

f: ® = f () = (х, у, z).

Покажем, что f является взаимно однозначным отображением. Для этого рассмотрим теорему о равенстве векторов.

Теорема. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.

Для доказательства этой теоремы вначале покажем, как можно задать вектор при помощи его длины | | и углов, которые он образует с координатными осями.

Рассмотрим произвольный направленный отрезок , принадлежащий множеству вектора . Построим на , как на диагонали, прямоугольный параллелепипед (рис.2.5) со сторонами АА ₁ = х = х ₂ – х ₁ = а_х; АА ₂ = у = у ₂– у ₁ = а_у; АА ₃ = z = z ₂ – z ₁ = а_z.

g

_b

a

Рис. 2.5.

Заметим, что все точки, лежащие на плоскости, параллельной какой-либо координатной плоскости, имеют равные координаты той оси, к которой эта плоскость перпендикулярна. Если точки расположены на прямой, параллельной какой-либо из координатных осей, то для этих точек изменяется только координата той оси, которой эта прямая параллельна. Две другие координаты одинаковы. Например, точки А и А ₁ (рис.2.5) лежат на прямой, параллельной оси Ох, следовательно, для этих точек изменяется только координата х.

Теперь обозначим через a, b и g углы, которые образует направленный отрезок с осями координат x, y, z соответственно или со сторонами параллелепипеда АА ₁, АА ₂, АА ₃ (рис.2.5). Из прямоугольных треугольников АА ₁ В, АА ₂ В и АА ₃ В находим

х = х ₂ – х ₁ = а_х =| | cosa,

у = у ₂ – у ₂ =а_у = | | cosb,(4.2)

z = z ₂ – z ₁ = a_z = | | cosg,

где | | = | | = ,

cosa, cosb и cosg называются направляющими косинусами, и для них имеет место соотношение

cos ² a + cos ² b + cos ² g = 1. (4.3)

Теперь на основании полученных формул докажем теорему равенства векторов. Рассмотрим два вектора и с координатами соответственно x ₁, y ₁, z ₁ и x ₂, y ₂, z ₂.

Необходимость. Покажем, что если векторы равны ( = ), то и их координаты тоже равны (x ₁ = x ₂; y ₁ = y ₂; z ₁ = z ₂). Из равенства векторов следует, что | | = | |, а также, что cos a ₁ = cos a ₂, cos b ₁ = cos b ₂, cos g ₁ = cos g ₂, так как векторы коллинеарны и одинаково направлены. Если бы векторы были коллинеарны и противоположно направлены, то cos a ₁ = – cos a ₂, cos b ₁ = – cos b ₂, cos g ₁ = – cos g ₂. Теперь из формул (4.2) следует:

x ₁ =| | cos a ₁ = | | cos a ₂ = х ₂,

у ₁ =| | cos b ₁ = | | cos b ₂ = у ₂,

z ₁ =| | cos g ₁ = | | cos g ₂ = z ₂,

что и требовалось доказать.

Достаточность. Так как координаты векторов и равны, то

| | = | | и cos a ₁ = cos a ₂, cos b ₁ = cos b ₂, cos g ₁ = cos g ₂.

Второе условие означает, что векторы и коллинеарны и направлены в одну сторону, а с учетом | | = | | такие вектора считаются равными, т.е. = .

. Из теоремы равенства векторов непосредственно следует, что отображение ® = (x, y, z) является взаимно однозначным. Действительно, каждому вектору из векторного пространства свободных векторов можно поставить в соответствие единственный вектор = (x, y, z) из векторного пространства R ³ и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел (x, y, z), т.е. вектору из R ³, можно поставить в соответствие единственный вектор из векторного пространства свободных векторов. Для построения этого вектора достаточно построить радиус-вектор точки В (x, y, z) в выбранной системе координат. Тогда множество всех направленных отрезков, равных направленному отрезку и является вектором с координатами x, y, z. Отметим, что это соответствие зависит от выбора системы координат.

Если вектор расположен в одной из координатных плоскостей, то одна из координат равна нулю, например, если эта плоскость хОу, то координата z = 0. Изображать такой вектор можно направленным отрезком, лежащим в любой из плоскостей, параллельной плоскости хОу. В этом случае каждому вектору , расположенному в координатной плоскости, можно поставить в соответствие упорядоченную пару чисел (х, у), представляющую собой вектор из векторного пространства R ² и это соответствие взаимно однозначно.

Если вектор расположен на одной из координатных осей, то остальные две его координаты равны нулю и поэтому каждому вектору , расположенному на координатной оси, можно поставить в соответствие вектор с координатой х из векторного пространства R ¹ и это соответствие взаимно однозначно. Изображать такой вектор можно направленным отрезком, расположенным на любой прямой, параллельной соответствующей координатной оси.

Покажем теперь, что операции сложения свободных векторов и умножение их на число из поля R находятся в полном соответствии с аналогичными операциями над векторами из R ³, т.е. относительно данных операций эти пространства изоморфны. Перечислим эти операции без доказательства, так как все они доказаны в курсе средней школы.

Сумма свободных векторов. Координаты суммы двух свободных векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых.

На координатной оси: (х ₁) и (х ₂);

(х ₁) + (х ₂) = (х ₁ + х ₂).

На координатной плоскости: (х ₁, у ₁) и (х ₂, у ₂);

(х ₁, у ₁) + (х ₂, у ₂) = (х ₁ + х ₂, у ₁ + у ₂).

В пространстве: (х ₁, у ₁, z ₁) и (х ₂, у ₂, z ₂);

(х ₁, у ₁, z ₁) + (х ₂, у ₂, z ₂) = (х ₁ + х ₂, у ₁ + у ₂, z ₁ + z ₂) – соответствие см. формулу (4.1).

Умножение свободного вектора на число из поля R. Координаты произведения вектора (x, y, z) на число l равны произведениям этого числа на соответствующие координаты вектора .

) – соответствие см. формулу (4.1).

Следствие. Для того чтобы два вектора (х ₁, у ₁, z ₁) и (х ₂, у ₂, z ₂) были коллинеарны, т.е. , необходимо и достаточно, чтобы соответствующие координаты векторов были пропорциональны: .

Кроме этих двух операций введем еще одну операцию над свободными векторами, с которой вы познакомились в курсе средней школы, но смысл, которой мы раскроем чуть позже.