Из подобия треугольников АВС и АВ'С' следует (как в случае l > 0, так и в случае l < 0), что

Но , следовательно .

Из доказательства свойства 4 вытекает следующее условие компланарности векторов. Для того чтобы три вектора , и были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли соотношению , где l Î R и mÎR. Это соотношение читается так: вектор есть линейная комбинация векторов и .

Таким образом, множество свободных векторов, на котором заданы данные операции сложения векторов и умножение вектора на число из R, образует векторное пространство над полем R.

Теперь рассмотрим, как можно задать вектора с помощью декартовой прямоугольной системой координат, и установим их соответствие с векторами из пространства R ³.