Типы векторов в геометрическом пространстве

Свободный вектор обозначают и изображают любым из направленных отрезков того множества направленных отрезков, которое является вектором . В каждой точке пространства А' всегда можно построить направленный отрезок , принадлежащий множеству направленных отрезков данного вектора (т.е. = ) и этот направленный отрезок для конкретной точки А ' будет единственным. Эту операцию осуществляют при помощи параллельного переноса.

В дальнейшем будем рассматривать лишь свободные вектора, и называть их, по мере возможности, просто векторами. Это связано с тем, что на свободные вектора накладывается наименьшее число ограничений, и все остальные вектора представляют собой частный случай свободных векторов, на которые накладываются дополнительные ограничения.

3.2. Векторное пространство свободных векторов над полем R

На множествесвободных векторов в геометрическом пространстве зададим две операции – сложение векторов и умножение на число из поля R. Покажем, что с этими операциями множество свободных векторов образует векторное пространство над полем R.

Сложение свободных векторов. Пусть даны два свободных вектора и . Построим равные им направленные отрезки и (это можно сделать для любой точки В пространства). Тогда направленный отрезок , принадлежащий множеству направленных отрезков вектора , называется суммой векторов и и обозначается + . Заметим, что все три вектора , и + = принадлежат одному и тому же множеству свободных векторов, т.е. сложение есть внутренний закон композиции. Выясним его свойства.

1. Сложение векторов коммутативно, т.е. + = + . Действительно, отложим вектор от произвольной точки А: = , а от точки В отложим вектор : = . Тогда + = . Отложим теперь сначала от точки А вектор : = . Тогда в силу равенства = (четырехугольник АВСD – параллелограмм) имеем , т.е. есть вектор , отложенный от точки D. Таким образом, + = + = и поэтому + = + .

2. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых векторов , и выполнено

Доказательство. Пусть А – произвольная точка, а В, С, D – такие точки, что тогда

,

.

3. , т.е. – нейтральный элемент.

4. , – симметричный элемент.

Последние два свойства очевидны. Таким образом, сложение на множестве свободных векторов составляет абелеву группу.

Умножение свободного вектора на число из R. Произведением числа l Î R на свободный вектор в случае , l ¹ 0, называется вектор, коллинеарный вектору , модуль которого равен и который направлен в ту же сторону, что и вектор , если l > 0 и в противоположную, если l < 0. Если l = 0 или = , то по определению = .

Из определения вытекает следующее условие коллинеарности векторов: если два вектора и связаны соотношением = , то эти вектора коллинеарны. Такие вектора называются пропорциональными.

Таким образом, умножение вектора на число l Î R представляет собой внешний закон композиции. Определим его свойства.

1. Для любых чисел l Î R и m Î R и любого вектора .

2. 1· = , e = 1 – нейтральный элемент умножения в R.

3. Для любых чисел l Î R и m Î R и любого вектора

.

4. Для любых векторов и и любого числа l Î R

.

Первые три свойства очевидны. Докажем свойство 4. Предположим, что векторы и не коллинеарны. Случай коллинеарности векторов и сводится к свойствам 3 и 2. Отложим вектор от точки А: а вектор от точки В: . Построим векторы и (рис.2.3).

Рис. 2.3