Означення степеневого ряду та його збіжності

Ряд , де – функції, які визначені та неперервні в деякому інтервалі, називаються функціональним рядом.

Функціональний ряд називається збіжним у точці , якщо числовий ряд збігається.

Сукупність точок збіжності функціонального ряду становить область його збіжності.

Ряд , де – числа, називається степеневим рядом.

Степеневий ряд називається збіжним у точці , якщо збігається ряд , та абсолютно збіжним у точці , якщо збігається ряд .

Якщо степеневий ряд збігається абсолютно, то він збігається. Множина точок абсолютної збіжності ряду становить множину абсолютної збіжності ряду , а множина точок збіжності ряду становить множину збіжності ряду та с .

Якщо існує границя (скінченна або нескінченна) , то її називають радіусом збіжності степеневого ряду. Степеневий ряд збігається абсолютно в інтервалі та розбігається при . У точках ряд може збігатись або розбігатись в залежності від вигляду ряду.

Задача 7.1. Визначити радіус та інтервал збіжності степеневого ряду .

Розв’язання. Для визначення абсолютної збіжності цього ряду скористаємось ознакою Даламбера.

Маємо , та , тоді .

Отже радіус збіжності , а інтервал абсолютної збіжності , де . Розглянемо ряд при та при , тобто на межі інтервалу абсолютної збіжності. Якщо , то ряд умовно збігається. Якщо , то ряд є гармонічним рядом, який розбігається.

Отже, ряд, який розглядається, а саме ряд , абсолютно збігається на інтервалі , умовно збігається при та розбігається при .

Виходячи з того, що степеневий ряд у межах інтервалу його збіжності можна почленно диферінцювати n разів (а також інтегрувати), будь-яка функція може бути подана у вигляді степеневого ряду за степенями . Ряд

,

де − коефіцієнти ряду,

називається рядом Тейлора.

Якщо , то ряд

називається рядом Маклорена.

Необхідною і достатньою умовою подання функції в степеневі ряди Тейлора та Маклорена є , де – залишковий член ряду.

Ряди Тейлора та Маклорена дозволяють отримати наближені розрахунки значень функції в точках відповідно та .

Корисно при практичних випробуваннях рядів Маклорена користуватись відомими їх виразами для таких елементарних функцій:

; ; ; ; ; ;

Ч а с т и н а 8