Інтегральна ознака Коші

Якщо у відповідність до числового невід’ємного ряду поставлена функція f(x), яка визначена при всіх , є невід’ємною та спадною, то ряд збігається тоді й тільки тоді, коли збігається інтеграл .

Задача 6.8. Установити, збігається чи ні ряд .

Розв’язання. Відзначимо, що необхідна ознака збіжності виконується, оскільки . За інтервальною ознакою Коші маємо

,

а це означає, що ряд збігається.

Задача 6.9. Установити, збігається чи ні ряд .

Розв’язання. Необхідна ознака збіжності виконується, тому що . За інтервальною ознакою Коші маємо

.

Отже ряд є розбіжним рядом.

До основних властивостей рядів, які збігаються, відносять такі.

Якщо ряд збігається, то ряд , де – дійсне число, також збігається.

Якщо кожний з рядів та збігається, то ряди також збігаються.

Якщо один з рядів та розбігається, то ряди розбігаються.