Означення числового ряду та його збіжності

Р о з д і л 2

РЯДИ

Ч а с т и н а 6

ЧИСЛОВІ РЯДИ

Означення числового ряду та його збіжності

Вираз ,

де – послідовність дійсних чисел, для якої кожний доданок визначається як функція від його номера, називається числовим рядом.

Позначають n -ну часткову суму ряду та суму ряду , при цьому a_n n -й член ряду.

Якщо , то ряд називається збіжним, якщо границя не існує, то ряд називається розбіжним.

Для збіжного ряду величину називають залишковим рядом, або залишковою сумою. Якщо ряд є збіжним, то залишковий ряд є також збіжним, тому що

.

Оскільки визначення суми ряду в більшості випадків є складним завданням, то основним питанням в теорії рядів є визначення збіжності чи розбіжності ряду, який розглядається, тобто встановлення факту, існує чи ні сума такого ряду. Якщо буде встановлено, що сума ряду, який розглядається, існує, то її за необхідності визначають, а якщо буде установлено, що ряд, який розглядається, є розбіжним, то тим самим установлюється, що його сума не існує, а отже, визначення суми такого ряду не відповідає здоровому глузду.