Ознака порівняння рядів

Якщо для будь-якого збіжного числового ряду з невід’ємними членами установлено, що всі його члени, принаймні починаючи з деякого номера, перевищують значення відповідних членів ряду, який досліджується на збіжність, то він є також збіжним рядом.

Якщо для числового ряду з невід’ємними членами, який досліджується на збіжність, установлено, що всі його члени, починаючи с деякого номера, є не меншими за відповідні члени числового ряду з невід’ємними членами, який є розбіжним рядом, то ряд, який досліджується, є також розбіжним рядом.

Задача 6.1. Установити, збігається чи ні ряд .

Розв’язання. Як ряд порівняння виберемо ряд , який збігається, тому що це нескінченна геометрична прогресія вигляду 1 +q+q ² +q ³ +… із знаменником . Видно, що , а це означає, що ряд також збігається.

Задача 6.2. Установити, збігається чи ні ряд .

Розв’язання. Для порівняння членів заданого ряду розглянемо гармонічний ряд , який є розбіжним. Видно, що при . А це означає, що ряд є також розбіжним, хоча необхідна умова збіжності виконується, оскільки .