Исследование формы гиперболы по её уравнению

Пусть дан гипербола своим каноническим уравнением .

Для определения вида кривой, заметим:

а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют

уравнению (6). => Гипербола не проходит через начало координат.

б) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Ох: => => Эллипс две точки пересечения с осью Ох: и .

в) Найдём точки пересечения гиперболы с осью Оу: => => Гипербола не имеет точек пересечения с осью Оу..

г) Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то из уравнения (4) следует, что и точка М₁(-х;у) принадлежит гиперболе. => Гипербола симметрична относительно оси Ох.

д) Если точка М(х;у) принадлежит гиперболе, то из уравнения (4) следует, что и точка М₂(х;-у) принадлежит гиперболе. => Гипербола симметрична относительно оси Оу. На основании г) и д) можно сделать вывод, что гипербола симметрична относительно начала системы координат.

е) Из уравнения , => => Все точки гиперболы лежат вне полосы, ограниченной прямыми .

27. Исследование формы параболы по его уравнению Пусть дана парабола своим каноническим уравнением (*).

Для определения вида кривой заданной уравнением (*), заметим:

а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют уравнению (*). => Парабола проходит через начало координат.

б) Если точка М(х;у) принадлежит параболе, то из уравнения (*) следует, что и точка М₁(-х;у) принадлежит параболе. => Парабола симметрична относительно оси Ох.

в) Если , то все точки параболы расположены в полуплоскости .

г) Продифференцируем равенство по х: . => При у > 0 функция у(х) является возрастающей, а при у < 0 ─ убывающей.

д) Продифференцировав выражение по переменной х, получаем: . => Кривая при у > 0 ─ выпукла, а при у < 0─ вогнута.

Проведённое исследование позволяет построить изображение параболы, приведённое на рис.