 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Взаимное расположение двух плоскостей
|
|
Теорема IV. Пусть в некоторой аффинной системе координат даны плоскости α: А1 х+В1 у+С1 z+D1 =0 и β: А2 х+В2 у+С2 z+D2 =0. Тогда:
1) α = β <= > А1, В1, С1, D1 и А2, В2, С2, D2 - пропорциональны, то есть: 
,
2) α ‖ β <= > 
3) α ∩ β ≠ Ø <= > А1, В1, С1, D1 и А2, В2, С2, D2 - не пропорциональны.
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть для плоскостей α и β выполнено условие 
=λ или А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 ; С1= λ С2; D1= λ D2. Это означает, что уравнение плоскости α можно записать в виде: λ(А2 х+В2+ у+С2 z+D2) =0 <=> любая точка плоскости β принадлежит плоскости α то есть эти плоскости совпадают.
Достаточность.
Пусть α = β = > векторы нормали плоскостей α и β коллинеарны, то есть А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 ; С1= λ С2. Это означает, что уравнение плоскости α можно записать в виде: λ(А2 х+В2 у+С2 z)+D1 =0. = > D1 = - λ(А2 х+В2 у+С2 z) = λD2 = > А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 ; С1= λ С2; D1= λ D2.
2) Необходимость.
Пусть для плоскостей α и β выполнено условие 
. В этом случае векторы нормали плоскостей α и β коллинеарны, а значит плоскости α и β параллельны, но не совпадают, так как для совпадения плоскостей α и β необходимо и достаточно, что бы 
.
Достаточность.
Пусть α ‖ β. = > что векторы нормали 
и 
коллинеарны, а это значит, что А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 ; С1= λС2, но D1≠ λD2 так α ≠ β.
3) Необходимость.
Пусть α ∩ β ≠ Ø. = > что векторы нормали 
не коллинеарны, а это значит, что А1, В1, С1 и А2, В2, С2 - не пропорциональны.
Достаточность.
Пусть А1, В1, С и А2, В2, С2 - не пропорциональны. = > что векторы нормали 
неколлинеарны, а это значит, что > А1, В1, С1, 1 и А2, В2, С2, - не пропорциональны.
21. Геометрический смысл знака многочлена Ах+Ву+Сz+D.
Теорема III. Если в аффинной системе координат дана плоскость α: Ах+Ву+Сz+D=0, и точка М1(x1;y1;z1),координаты которой удовлетворяют неравенству Ах1+ Ву1+ Сz1+D > 0, то точка М1 лежит по одну сторону от плоскости α с концом вектора 
, если его начало приложить к некоторой точке плоскости. Если координаты и точки М1(x1;y1;z1) удовлетворяют неравенству Ах1+ Ву1+ Сz1+D< 0, то точка М1 с концом вектора 
лежит по разные стороны от плоскости α, если начало вектора приложить к некоторой точке плоскости.
Доказательство.
Прежде, чем привести доказательство сформулированной теоремы, заметим, что вектор 
не параллелен плоскости α. Для того чтобы убедиться в этом проверим условие параллельности вектора плоскости α: А2 + В2 + С2 ≠ 0.
Пусть в пространстве введена аффинная система координат R=(О 
) и дан многочлен Ах+ Ву+ Сz+D. Если в этот многочлен подставит координаты точки М1, то значением этого многочлена буде некоторое число δ. Возможны следующие случаи: 
.
В случае б) точка М1 принадлежит плоскости α. Выясним, где находится точка М1 в двух остальных случаях.
Проведём через точку М1 прямую М1Н параллельно вектору 
, Тогда так как 
‖ 
, то 
=λ· 
=> хН - х1 = λА; уН - у1 = λВ; zН - z1 = = λС. => х1 = λА + хН ; у1 = λВ + уН ; z1 = λС + zН (13)
Подставив выражения для x1; y1 и z1 в многочлен Ax + By + Cz + D, получаем: δ = Ax1 + By1 + Cz 1+ D = λ(А2 + В2 +C2) + AxH + ByH + CzH + D.
Так как точка Н принадлежит плоскости α, то сумма подчёркнутых слагаемых равна 0. Таким образом δ = λ(А2 + В2 +C2). Отсюда получаем, что знак δ зависит от знака 
λ. => Если λ > 0, то вектор 
и вектор 
сонаправлены и их концы расположены по одну сторону от плоскости α. Если λ < 0, то вектор и вектор 
противоположно направлены и их концы расположены по разные стороны от плоскости α. (Рис.11).
Теорема доказана.
16. Геометрический смысл знака трёхчлена Ах+Ву+С.
Теорема III. Если в аффинной системе координат дана прямаяℓ: Ах+Ву+С=0, и точка М1(x1;y1),координаты которой удовлетворяют неравенству Ах1+ Ву1+ С > 0, то точка М1 лежит по одну сторону от прямой ℓ с концом вектора 
, если его начало приложить к некоторой точке прямойℓ. Если координаты и точки М1(x1;y1) удовлетворяют неравенству Ах1+ Ву1+ С< 0, то точка М1 с концом вектора лежат по разные стороны от прямойℓ, если начало вектора приложить к некоторой точке прямой ℓ.
Доказательство.
Прежде, чем привести доказательство сформулированной теоремы, заметим, что вектор 
не параллелен плоскости α. Для того чтобы убедиться в этом проверим условие параллельности вектора 
плоскости α: А2 + В2 + С2 ≠ 0.
Пусть в пространстве введена аффинная система координат R=(О ) и дан многочлен Ах+ Ву+ Сz+D. Если в этот многочлен подставит координаты точки М1, то значением этого многочлена буде некоторое число
δ. Возможны следующие случаи: 
.
В случае б) точка М1 принадлежит плоскости α. Выясним, где находится точка М1 в двух остальных случаях.
Проведём через точку М1 прямую М1Н параллельно вектору 
, Тогда так как
, то 
=λ· 
=> хН - х1 = λА; уН - у1 = λВ;. => х1 = λА + хН ; у1 = λВ + уН (10)
Подставив выражения для x1; y1 и z1 в многочлен Ax + By + C, получаем: δ = Ax1 + By1 + C = λ(А2 + В2) + AxH + ByH + C.
Так как точка Н принадлежит прямой ℓ, то сумма подчёркнутых слагаемых равна 0. Таким образом δ = λ(А2 + В2). Отсюда получаем, что знак δ зависит от знака λ. => Если λ > 0, то вектор 
и вектор сонаправлены и их концы расположены по одну сторону от прямой ℓ. Если λ < 0, то вектор 
и вектор противоположно направлены и их концы расположены по разные стороны от прямой ℓ.
Теорема доказана.
22. Уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором. Определение. Направляющим вектором прямой называется любой вектор параллельный этой прямой.
А) Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, которые коллинеарны между собой. Пусть в пространстве дана точка М0 и вектор 
. Через точку М0 в пространстве так же как и на плоскости можно провести единственную прямую. Составим уравнение этой прямой.
Дано:
R=(О, 
).
ǀǀ ℓ М0(x0;y0;z0) 
ℓ Cоставить уравнение ℓ.
Решение.
Возьмём произвольную точку М(x;y;z), принадлежащую прямой ℓ.
Очевидно, что М0(x0;y0;z0) ℓ <=> 
. Если векторы коллинеарны, то координаты этих векторов пропорциональны. Таким образом:
─ уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором. В записи этих уравнений содержится два знака равенства, поэтому это не одно уравнение, а краткая запись системы двух уравнений:
В этих уравнениях x0, y0,z0 ─ координаты данной точки М0, принадлежащей прямой, р1, р2, р3 ─ координаты направляющего вектора прямой, а x, y и z ─ координаты текущей (любой точки) прямой. Уравнения называют каноническими уравнениями прямой ℓ.
б) Параметрические уравнения прямой. Пусть в аффинной системе координат прямая ℓ задана точкой М0(x0;y0;z0) и направляющим вектором 
. В этом случае векторы 
и 
коллинеарны. Отсюда следует что существует такое число t, что 
. Таким образом 
=> 
(17)
Эти равенства (17) называются параметрическими уравнениями прямой. Здесь t ─ параметр. Его смысл заключается в том, что для любого действительно числа t точка с координатами (х,у,z), удовлетворяющая условиям (17) лежит на прямой ℓ. Обратно, если (х,у,z) – точка прямой ℓ, то всегда найдется такое число t, что х, у и z выражаются через х0, у0 и z0, р1, р2 и р3 при помощи равенств (17).
Дата публикования: 2015-02-20; Прочитано: 1351 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
