 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Определение. Вектор перпендикулярный плоскости α называется вектором нормали плоскости α
|
|
Очевидно, что существует множество векторов нормали для конкретной прямой, все они коллинеарны между собой.
Задача составления уравнения прямой, заданной точкой и вектором нормали, является метрической задачей. Метрические задачи обычно рассматриваются в прямоугольной системе координат.
Введём на плоскости прямоугольную систему координат R(O, 
). В которой зададим точку М0, вектор 
и рассмотрим прямую, проходящую через точку М0 перпендикулярно вектору 
.
Очевидно, что произвольная точка М принадлежит прямой ℓ тогда и только тогда когда 
. Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Учитывая то, что 
получаем:
Уравнение называется уравнением плоскости, заданной точкой Мо(хо,уо) и вектором нормали 
.
15. Расстояние от точки до прямой.
Определение. Расстоянием от точки М до прямой ℓ является длина перпендикуляра, опущенного из точки М на l прямую ℓ. 
Теорема IV. Расстояние от точки М0(x0 ; y0)прямой ℓ, заданной уравнением общего вида: ℓ: Ах+Ву+С=0, вычисляется по формуле: 
.
Доказательство.
Пусть в прямоугольной системе координат задана прямая ℓ: Ах+Ву+С=0 и т. М0(x0; y0), не лежащая на этой прямой. Вычислим расстояние от точки Мо до прямой ℓ. Заметим,что 
=> 
|| 
, где точка Н – основание перпендикуляра, опущенного из точки М0 на прямую ℓ, координаты которой Н(xH; yH).(Рис.).Тогда
Откуда следует, что ρ(М0,ℓ) = ǀНМǀ=ǀ(, 
)ǀ/ǀ ǀ. Учитывая, что (
, 
)= А(xH-x0) +B(yH-y0); 
и так как точка Н лежит на прямой ℓ, то есть АхН + ВуН + С=0, получаем:
.
16. Геометрический смысл знака трёхчлена Ах+Ву+С.
Теорема III. Если в аффинной системе координат дана прямаяℓ: Ах+Ву+С=0, и точка М1(x1;y1),координаты которой удовлетворяют неравенству Ах1+ Ву1+ С > 0, то точка М1 лежит по одну сторону от прямой ℓ с концом вектора 
, если его начало приложить к некоторой точке прямойℓ. Если координаты и точки М1(x1;y1) удовлетворяют неравенству Ах1+ Ву1+ С< 0, то точка М1 с концом вектора лежат по разные стороны от прямойℓ, если начало вектора приложить к некоторой точке прямой ℓ.
Доказательство.
Прежде, чем привести доказательство сформулированной теоремы, заметим, что вектор 
не параллелен плоскости α. Для того чтобы убедиться в этом проверим условие параллельности вектора 
плоскости α: А2 + В2 + С2 ≠ 0.
Пусть в пространстве введена аффинная система координат R=(О 
) и дан многочлен Ах+ Ву+ Сz+D. Если в этот многочлен подставит координаты точки М1, то значением этого многочлена буде некоторое число
δ. Возможны следующие случаи: 
.
В случае б) точка М1 принадлежит плоскости α. Выясним, где находится точка М1 в двух остальных случаях.
Проведём через точку М1 прямую М1Н параллельно вектору 
, Тогда так как
, то 
=λ· 
=> хН - х1 = λА; уН - у1 = λВ;. => х1 = λА + хН ; у1 = λВ + уН (10)
Подставив выражения для x1; y1 и z1 в многочлен Ax + By + C, получаем: δ = Ax1 + By1 + C = λ(А2 + В2) + AxH + ByH + C.
Так как точка Н принадлежит прямой ℓ, то сумма подчёркнутых слагаемых равна 0. Таким образом δ = λ(А2 + В2). Отсюда получаем, что знак δ зависит от знака 
λ. => Если λ > 0, то вектор 
и вектор сонаправлены и их концы расположены по одну сторону от прямой ℓ. Если λ < 0, то вектор 
и вектор 
противоположно направлены и их концы расположены по разные стороны от прямой ℓ.
Теорема доказана.
Дата публикования: 2015-02-20; Прочитано: 311 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
