![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема: Пусть в некоторой аффинной системе координат даны две прямые ℓ1: А1 х+В1 у+С1 =0 и ℓ2: А2 х+В2 у+С2 =0. Тогда:1) ℓ1 = ℓ2 <= > А1, В1, С1 и А2, В2, С2 - пропорциональны, то есть: ,
2) ℓ1 ‖ ℓ2 <= >
3) ℓ1 ∩ ℓ2 ≠ Ø <= > А1, В1, С1 и А2, В2, С2 - не пропорциональны.
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть для прямых ℓ1 и ℓ2 выполнено условие =λ или А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 ; С1= λ С2. Это означает, что уравнение прямой ℓ1 можно записать в виде: λ(А2 х+В2у+С2) =0 <=> любая точка прямой ℓ1 принадлежит прямой ℓ1 то есть эти прямые совпадают.
Достаточность.
Пусть ℓ1 = ℓ2 = > векторы нормали прямых ℓ1 и ℓ2 коллинеарны, то есть А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 . Это означает, что уравнение прямой ℓ1 можно записать в виде: λ(А2 х+В2)+С1 =0. = > С1 = - λ(А2 х+В2 у) = λС2 = > А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 ; С1= λ С2.
2) Необходимость.
Пусть для прямых ℓ1 и ℓ2 выполнено условие . В этом случае векторы нормалей прямых ℓ1 и ℓ2 коллинеарны, а значит прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны, но не совпадают, так как для совпадения прямых ℓ1 и ℓ2 необходимо и достаточно, что бы
.
Достаточность.
Пусть ℓ1 ‖ ℓ2. = > что векторы нормалей и
коллинеарны, а это значит, что А1 = λ А2 ; В1 = λ В2 ; но С1≠ λС2 так ℓ1 ≠ ℓ2.
3) Необходимость.
Пусть ℓ1 ∩ ℓ2 ≠ Ø. = > что векторы нормали
не коллинеарны, а это значит, что А1, В1 и А2, В2 - не пропорциональны.
Достаточность.
Пусть А1, В1 и А2, В2 - не пропорциональны. = > что векторы нормалей
неколлинеарны, а это значит, что прямые ℓ1 и ℓ2 не совпадают и не коллинеарны => прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются.
14. Уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали.
Дата публикования: 2015-02-20; Прочитано: 214 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!