Взаимное расположение двух прямых

Теорема: Пусть в некоторой аффинной системе координат даны две прямые ℓ₁: А₁ х+В₁ у+С₁ =0 и ℓ₂: А₂ х+В₂ у+С₂ =0. Тогда:1) ℓ₁ = ℓ₂ <= > А₁, В₁, С₁ и А₂, В₂, С₂ - пропорциональны, то есть: ,

2) ℓ₁ ‖ ℓ₂ <= >

3) ℓ₁ ∩ ℓ₂ ≠ Ø <= > А₁, В₁, С₁ и А₂, В₂, С₂ - не пропорциональны.

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть для прямых ℓ₁ и ℓ₂ выполнено условие =λ или А₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ ; С₁= λ С₂. Это означает, что уравнение прямой ℓ₁ можно записать в виде: λ(А₂ х+В₂у+С₂) =0 <=> любая точка прямой ℓ₁ принадлежит прямой ℓ₁ то есть эти прямые совпадают.

Достаточность.

Пусть ℓ₁ = ℓ₂ = > векторы нормали прямых ℓ₁ и ℓ₂ коллинеарны, то есть А₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ . Это означает, что уравнение прямой ℓ₁ можно записать в виде: λ(А₂ х+В₂)+С₁ =0. = > С₁ = - λ(А₂ х+В₂ у) = λС₂ = > А₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ ; С₁= λ С₂.

2) Необходимость.

Пусть для прямых ℓ₁ и ℓ₂ выполнено условие . В этом случае векторы нормалей прямых ℓ₁ и ℓ₂ коллинеарны, а значит прямые ℓ₁ и ℓ₂ параллельны, но не совпадают, так как для совпадения прямых ℓ₁ и ℓ₂ необходимо и достаточно, что бы .

Достаточность.

Пусть ℓ₁ ‖ ℓ₂. = > что векторы нормалей и коллинеарны, а это значит, что А₁ = λ А₂ ; В₁ = λ В₂ ; но С₁≠ λС₂ так ℓ₁ ≠ ℓ₂.

3) Необходимость.

Пусть ℓ₁ ∩ ℓ₂ ≠ Ø. = > что векторы нормали не коллинеарны, а это значит, что А₁, В₁ и А₂, В₂ - не пропорциональны.

Достаточность.

Пусть А₁, В₁ и А₂, В₂ - не пропорциональны. = > что векторы нормалей неколлинеарны, а это значит, что прямые ℓ₁ и ℓ₂ не совпадают и не коллинеарны => прямые ℓ₁ и ℓ₂ пересекаются.

14. Уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали.