Уравнение плоскости заданной точкой и двумя параллельными ей векторами

Пусть дана точка М₀(x₀,y₀,z₀) и два параллельных ей вектора и составим уравнение этой плоскости δ. Для определения координат вектора нормали этой плоскости поступим следующим образом.

а) Запишем уравнение плоскости δ, проходящей через точку М₁ перпендикулярно некоторому вектору : δ: б) Так как векторы и параллельны плоскости δ, то воспользуемся условиям (7) параллельности этих векторов плоскости δ. в) В результате получаем, что координаты вектора нормали плоскости δ должны являться решением системы уравнений:

(10)

Система уравнений (10)является системой линейных одноородных уравнений относительно неизвестных координат вектора нормали плоскости δ. Она имеет ненулевое решение, если определитель системы равен нулю. Таким образом, для плоскости, проходящей через точку М₀ параллелно векторам и должно выполняться условие

. (11)

Соотношение (11) является уравнением относительно неизвестных x, y и z, которые являются координатами любой точки М(x;у;z) плоскости σ, его называют уравнением плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам.