Связь степени затухания с коэффициентом колебательности m для АСР 2-го порядка

Степень затухания определяют:

X(t)

А₃

А₁

t

Существуют прямые и косвенные методы анализа качества переходного процесса.

Прямой метод заключается в построении переходного процессов для ряда комбинаций параметров настройки с тем, чтобы из них выбрать наилучший. Использование прямого метода рационально, когда АСР имеет невысокий порядок и решение дифференциального уравнения может быть легко получено.

В случае П- регулятора на объекте с самовыравниванием, когда

Переходный процесс регулирования при ступенчатом управляющем воздействии протекает по уравнению:

После построения графика переходного процесса определяют Хотя может быть определена и расчетным путем;

Использование косвенных методов при выборе параметров АСР исключает необходимость построения графика ожидаемого переходного процесса в системе. Показатели качества оцениваются по косвенным показателям, например, с помощью корневого метода.

Этот метод основан на определении границ области расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости и установлении связи переходного процесса с показателями этих границ.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

Если Р₁, Р₂,….,Р_n – корни этого уравнения, то свободная составляющая процесса регулирования имеет вид:

Т_i – постоянная времени.

Корни характеристического уравнения, расположенные ближе к мнимой оси, т.е. имеющие наименьшую по абсолютной величине вещественную часть, дают в управлении переходного процесса составляющие, которые затухают наиболее медленно.

Поэтому длительность переходного процесса зависит от расположения ближайшего к мнимой оси корня.

X(t) Т₁

+j Т₂

+ t

Р₂ Р₁

Кроме t_p – время регулирования, корневые методы позволяют оценит степень затухания колебательного переходного процесса .

Введем понятие коэффициента колебательности m, где - действительная часть, а - коэффициент при мнимой части корня характеристического уравнения, .

Для системы 2-го порядка однозначно связан с m:

Пусть характеристическое уравнение системы имеет корни

X(t)

+j

Р₁

A₁ A₃

+ t

Р₂

Общее решение дифференциального уравнения

Из второго рисунка

Т.к.

С учетом введенной переменной

Различным значениям степени затухания соответствуют следующие величины m:

	0.0	0.150	0.300	0.450	0.600	0.750	0.900	1.0
m	0.0	0.020	0.057	0.095	0.145	0.221	0.365

Предполагая, что на переходный процесс оказывают слабое влияние все корни характеристического уравнения, за исключением пары комплексных, ближайших к мнимой оси, степень затухания системы более высокого порядка также может быть оценена с помощью этой ближайшей к мнимой оси пары комплексных корней.