Нахождение интервалов выпуклости вниз, выпуклости вверх и точек перегиба функции

Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее формы.

Имеет место следующее утверждение:

1) Если во всех точках интервала производная второго порядка функции отрицательна, т.е. , то кривая на этом интервале выпукла вверх (кривая выпукла);

2) Если во всех точках интервала производная второго порядка функции положительна, т.е. , то кривая на этом интервале выпукла вниз (кривая вогнута).

Сформулируем достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба: пусть кривая определяется уравнением .

Если или не существует и при переходе через точку производная меняет знак, то точка кривой является точкой перегиба.

Очевидно, что точками перегиба функции могут быть лишь те точки, при переходе через которые меняет знак. Действительно, если, например, слева от и справа от , то слева от функция выпукла вверх, а справа – выпукла вниз, т.е. - точка перегиба.

Так как при переходе через точку перегиба меняет знак, то в этой точке либо , либо не существует. Поэтому точками перегиба могут быть лишь те точки, где вторая производная обращается в нуль, либо не существует. Такие точки называются критическими точками второго рода функции.

Порядок нахождения интервалов выпуклости вниз, выпуклости вверх и точек перегиба функции. Порядок нахождения интервалов выпуклости вниз, выпуклости вверх и точек перегиба функции аналогичен порядку нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции, только вместо производной первого порядка рассматривается производная второго порядка функции.

1. Найти область определения функции;

2. Исследовать функцию на четность. Если функция четная или нечетная, то ее можно исследовать только на половине области определения;

3. Исследовать функцию на периодичность. Если функция периодическая, то ее можно исследовать только на одном периоде;

4. Найти критические точки второго рода функции, т.е. точки, в которых ее вторая производная второго порядка равна нулю или не существует. Эти точки разобьют область определения функции на интервалы, в которых вторая производная сохраняет знак;

5. Определить знак второй производной в каждом интервале. Для этого достаточно вычислить значение второй производной в одной из внутренних точек каждого интервала;

6. В интервалах, где вторая производная положительна, кривая выпукла вниз; в интервалах, где вторая производная отрицательна, кривая выпукла вверх. Критические точки второго рода, принадлежащие области определения функции, при переходе через которые вторая производная меняет знак, являются абсциссами точек перегиба функции;

7. Вычислить значения функции в критических точках второго рода, при переходе через которые производная второго порядка меняет знак.

Пример. Найти интервалы выпуклости вниз, выпуклости вверх и точки перегиба кривой

.

Решение. Функция определена при

Функция ни четная, ни нечетная, поскольку

.

Функция непериодическая, так как она алгебраическая.

Находим критические точки второго рода функции:

Полагая и сокращая на 12, приходим к уравнению

корни которого, .Таким образом, функция имеет две критические точки второго рода. Область определения разбиваем на участки Устанавливаем знаки второй производной в каждом из этих интервалов.

кривая выпукла вниз, кривая выпукла верх,

кривая выпукла вниз.

Точки - точка абсциссы перегиба графика функции:

Таким образом, - точки перегиба данной кривой.

График этой функции имеет вид:

I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh AJkFOxDCAAAA2gAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxEj0GLwjAUhO+C/yE8wZumepClGkUEUfTg rrsHvT2aZ9ravJQmat1fv1kQPA7zzQwzW7S2EndqfOFYwWiYgCDOnC7YKPj5Xg8+QPiArLFyTAqe 5GEx73ZmmGr34C+6H4MRsYR9igryEOpUSp/lZNEPXU0cvYtrLIYoGyN1g49Ybis5TpKJtFhwXMix plVO2fV4swp2J+lv5efBFOXeRer8uzmZUql+r11OQQRqwxt+pbdawRj+r8QbIOd/AAAA//8DAFBL AQItABQABgAIAAAAIQAEqzleAAEAAOYBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBl c10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAAjDGKTUAAAAkwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAAMQEAAF9yZWxz Ly5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABIAAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9w aWN0dXJleG1sLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQCZBTsQwgAAANoAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJ8C AABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD3AAAAjgMAAAAA "> I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh AKfpEjXCAAAA2gAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxEj91qwkAUhO8LfYflFLxrNlookmYVEQyB YsHoAxyyJz82ezZk15i8vSsUejnMzDdMup1MJ0YaXGtZwTKKQRCXVrdcK7icD+9rEM4ja+wsk4KZ HGw3ry8pJtre+URj4WsRIOwSVNB43ydSurIhgy6yPXHwKjsY9EEOtdQD3gPcdHIVx5/SYMthocGe 9g2Vv8XNKMiy8Xqcv/t4z/nPtc2kyetqpdTibdp9gfA0+f/wXzvXCj7geSXcALl5AAAA//8DAFBL AQItABQABgAIAAAAIQAEqzleAAEAAOYBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBl c10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAAjDGKTUAAAAkwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAAMQEAAF9yZWxz Ly5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABIAAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9w aWN0dXJleG1sLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQCn6RI1wgAAANoAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJ8C AABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD3AAAAjgMAAAAA "> I zUvOT8nMS7dVCg1x07VQUiguScxLSczJz0u1VapMLVayt+PlAgAAAP//AwBQSwMEFAAGAAgAAAAh ANjSFDbCAAAA2gAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxEj91qwkAUhO8LfYflFLxrNnrRSppVRDAE igWjD3DInvzY7NmQXWPy9q5Q6OUwM98w6XYynRhpcK1lBcsoBkFcWt1yreByPryvQTiPrLGzTApm crDdvL6kmGh75xONha9FgLBLUEHjfZ9I6cqGDLrI9sTBq+xg0Ac51FIPeA9w08lVHH9Igy2HhQZ7 2jdU/hY3oyDLxutx/u7jPec/1zaTJq+rlVKLt2n3BcLT5P/Df+1cK/iE55VwA+TmAQAA//8DAFBL AQItABQABgAIAAAAIQAEqzleAAEAAOYBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBl c10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAAjDGKTUAAAAkwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAAMQEAAF9yZWxz Ly5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABIAAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9w aWN0dXJleG1sLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQDY0hQ2wgAAANoAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJ8C AABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD3AAAAjgMAAAAA ">

Асимптоты. Пусть имеем кривую, ветвь которой в том или ином направлении удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки кривых в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой (рис. 14). Как видно из рисунка, кривая может стремиться к своей асимптоте, пересекая ее бесконечное множество раз, либо с одной стороны (рис. 14).

Рис. 4

Различают асимптоты вертикальные и наклонные, частным случаем которых есть горизонтальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты. Пусть при функция неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая является асимптотой, то (рис. 4).

Таким образом, для отыскания вертикальных асимптот графика функции следует найти те значения , при которых функция обращается в бесконечность. Тогда уравнения вертикальных асимптот имеют вид .

Пример 2. Найти вертикальные асимптоты графика функции .

Так как , то прямая - вертикальная асимптота.

Наклонные асимптоты. Предположим, что кривая имеет наклонную асимптоту при . Так как , то при и также стремиться к нулю (рис. 5). Следовательно, если асимптота кривой при , то . Разделив на , получим отсюда: . Кроме того, непосредственно имеем .

Рис. 15

Таким образом, для нахождения наклонных асимптот при надо найти и по формулам:

,

.

Отметим, что кривая может иметь две различных наклонных асимптот при и при .

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты при . Поэтому их можно отдельно не искать.

Пример 3. Найти асимптоты кривой .

Решение. Так как при функция , то прямая является вертикальной асимптотой кривой .

Найдем наклонные асимптоты.

Имеем ,

Таким образом, кривая имеет наклонную асимптоту:

.

Отметим, что при получаем те же результаты, т.е. прямая является наклонной асимптоты и при и при .

Общая схема исследования функции и построения ее графика. Пусть функция дважды дифференцируема во всей области определения за исключением, быть может, отдельных точек. Тогда для изучения функции и построения ее графика необходимо выполнить следующее:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность (если функция четная или нечетная, то ее можно исследовать, лишь при положительных или лишь при отрицательных значениях ); если область определения не симметрична относительно начала координат, то функция ни четная, ни нечетная;

3) проверить, является ли функция периодической и найти ее период, если она периодическая (если функция периодическая, то при исследовании можно ограничиться, лишь одним периодом функции);

4) исследовать функцию на непрерывность;

5) исследовать точки разрыва функции, найти вертикальные асимптоты если есть, точки разрыва второго рода;

6) найти наклонные асимптоты;

7) найти интервалы монотонности и точки экстремумов функции, вычислить экстремумы функции;

8) найти интервалы выпуклости вниз, выпуклости вверх и точки перегиба;

9) найти точки пересечения графика с осями координат, если их можно найти;

10) по полученным точкам построить график функции, учитывая при этом все особенности поведения функции между этими точками.

Построенный подобным образом график уже довольно полно отображает ход изменения функции, точно отмечает промежутки ее возрастания и убывания, выпуклости вниз и выпуклости вверх, а также точки, где функция имеет экстремумы, и точки перегиба.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения функции: , т.е. функция определена при .

2. Область определения функции симметрична относительно начала координат. Проверим, является ли она четной или нечетной: . Ясно, что и . Следовательно, функция ни четная, ни нечетная.

3. Функция непериодична, так как алгебраическая.

4. Функция непрерывна на интервалах и , а в точке имеем разрыв, т.к. не определена в этой точке. Установим тип разрыва. Имеем

и

.

Это означает, что - точка разрыва второго рода. По определению прямая - вертикальная асимптота графика функции.

5. Найдем наклонные асимптоты. Уравнение наклонной асимптоты . Вычислим и .

,

.

При получим те же значения для и .

Следовательно, прямая - наклонная асимптота и при и при

6. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции. Имеем .

Найдем критические точки функции, т.е. точки, где производная функции равна нулю либо не существует.

;

не существует при , т.е. .

Таким образом, функция имеет две критические точки, которые делят ее область определения на три интервала, как показано на рис. 6. Определим знак в каждом интервале.

функция возрастает,

функция убывает,

функция возрастает.

+

+

-

Рис. 6

В точке функция имеет минимум: .

В точке функция не определена, поэтому в ней не может быть экстремума.

7. Находим интервалы выпуклости вверх, выпуклости вниз и точки перегиба. Имеем при всех из области определения функции. Следовательно, кривая выпукла вниз во всей области определения.

8. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью : , график функции не пересекается, т.к. функция не определена при .

По результатам исследования строим график (рис. 17).

Рис. 17