Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Определение производной. Пусть функция определена в точке x и в некоторой ее окрестности . Дадим аргументу x приращение , причем такое, что принадлежит окрестности . Функция получит при этом приращение .

Предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении к 0, т.е.

называется производной функции по независимой переменной x в данной точке x.

Обозначается производная функции по-разному.

Наиболее часто употребляются такие обозначения:

(читается: игрек штрих), (эф штрих от икс),

(де игрек по де икс), (де эф по де икс).

Если может возникнуть сомнение относительно переменной, по которой взята производная, то эта переменная указывается в виде нижнего индекса: , .

Заметим, что при данном значении x производная есть определенное число. Если же производная существует при всех значениях x из некоторого промежутка, то она является функцией от x.

Вычисление производных, изучение и использование их свойств составляют предмет дифференцированного исчисления.

Пример. Пользуясь определением, найти производную функции .

Решение. По определению

.

Для заданной функции ; ;

Тогда

Ответ: .

Физический смысл производной. Пусть точка М движется прямолинейно по закону , где S – путь, пройденный точкой за время t. В момент времени точка пройдет путь . Таким образом, за промежуток времени точка пройдет путь со средней скоростью .

Мгновенную скорость точки или скорость точки в момент времени t определяют как предел средней скорости при .

.

Таким образом, производная функции по t есть скорость прямолинейного движения точки в момент времени t.

В общем случае можно сказать, что производная функции по x представляет собой скорость изменения величины y при данном x.

Геометрический смысл производной. Пусть задана функция . Рассмотрим на ее графике точку и точку

Касательной к кривой в точке М называется предельное положение МК секущей , когда точка перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М.

Найдем тангенс угла между касательной МК и осью Ох, который называется угловым коэффициентом касательной.

Очевидно, что

.

Таким образом, производная функции в любой точке х представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Из определения производной следует, что приращение функции в точке можно представить в виде

,

где при .

Из этого утверждения следует: если функция в точке имеет производную, то в этой точке функция необходимо непрерывна, так как из следует .

Производная сложной функции. Производная сложной функции по переменной равна производной заданной функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную промежуточного аргумента по независимой переменной : .

Производная обратной функции. Пусть и взаимно обратные функции, причём функция монотонная и непрерывная. В этом случае её обратная функция однозначная и непрерывная функция. Пусть, кроме того, функция имеет производную в точке отличную от нуля: Тогда обратная функция имеет производную в точке равную единице, делённой на производную прямой функции в точке :

Основные правила дифференцирования функций. Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна алгебраической сумме производных слагаемых, если производные слагаемых существуют, т.е.

.

Доказательство. Пусть и существуют .

Тогда,

что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются следующие утверждения. Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую, т.е. , если производные сомножителей существуют.

Это правило обобщается на случай любого конечного числа сомножителей. Например,

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: , где .

Производная частного двух функций. Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой равен производной числителя, умноженной на знаменатель, минус числитель, умноженный на производную знаменателя, а знаменатель дроби равен квадрату знаменателя исходной дроби, если производные числителя и знаменателя функции существуют.

; .

В частном случае, когда , где , получим

.

При будем иметь .

В случае, когда , где имеем .

Производная степенной функции. Производная сложной степенной функции равна произведению трех множителей: первый – показатель степени, второй – сама степенная функция с показателем, на единицу меньшим, третий – производная основания функции: .

В частном случае , получаем: .

Таблица производных. Пользуясь определением производной и правилом дифференцирования сложной функции получим следующую таблицу производных элементарных функций:

1. ,

2. ,

3. ,

4. , ,

5. ,

,

.

6. ,

,

7. ,

,

,

,

8. ,

,

,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. ,

18. ,

19. ,

20. ,

21. ,

22. ,

Пример 1. .

Этот результат следует запомнить, так как довольно часто приходится находить производные от квадратных корней из различных функций.

Пример 2.

.

Пример 3.

Производная показательной функции. Производная сложной показательной функции равна произведению самой функции, натурального логарифма ее основания и производной показателя степени:

В частном случае , получаем и отсюда .

Пример 1.

.

Пример 2. .

Производная логарифмической функции. Производная сложной логарифмической функции равна отношению производной промежуточного аргумента к произведению промежуточного аргумента на натуральный логарифм основания логарифмической функции

В частных случаях:

, поскольку основание .

, поскольку основание .

Пример 1.

Пример 2.

Производная степенно-показательной функции. Производная степенно-показательной функции равна сумме производных, взятых от нее как от степенной и как от показательной функции:

Пример 1.

.

Пример 2.

.

Приведем дополнительные примеры на вычисление производной функции, применяя таблицу производных.

Пример 1.

(Напомним, что ).

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

Пример 8.

Пример 11. Найти , если

Дифференцируя левую и правую части этого уравнения получим:

Пример 10. Найти ,если

Производные высших порядков. Если функция имеет конечную производную в некотором интервале, то эта производная сама является некоторой функцией от . Производная от производной называется производной второго порядка или второй производной функции и обозначается одним из символов: (читается: игрек два штриха), (эф два штриха от икс), (де дважды игрек по де икс в квадрате).

Аналогично, если функция имеет конечную вторую производную в некотором интервале, то ее производная называется производной третьего порядка функции и обозначается или , или , или .

В общем случае производной -го порядка функции называется производная от ее производной -го порядка . Обозначается она или , или , или .

Пример. Найти производные высших порядков функции

Решение.

.

Очевидно, что все остальные производные более высокого порядка равны 0.

Обратите внимание, порядок производных четвертого и более высокого порядков часто обозначается римскими числами.

Пример. Найти производные третьего порядка функции

Решение:

Рассмотрим производные высших порядков параметрических заданных функции , .

Как известно,

. (а)

Поскольку также можно рассматривать как параметрически заданную функцию, то применив формулу (а), получаем:

или .

Аналогично получаем ,

.

Аналогично могут быть найдены производные и более высоких порядков.

Пример. Найти если

Решение. ,

.

;

Определение дифференциала функции. Пусть функция непрерывна в точке . Тогда приращению аргумента отвечает приращение функции бесконечно малое вместе с .

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде: .

Линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке и обозначается через или .

Таким образом, по определению .

Пример. Найти дифференциал функции в точке .

Решение: .

Следовательно, .

Таким образом, функция дифференцируема в любой точке , ее дифференциал в этой точке равен .

Связь между дифференциалом и производной функции. Для того чтобы функция в точке была дифференцируема, необходимо и достаточно, чтобы для нее в этой точке существовала конечная производная . В этом случае и .

Ордината касательной получит приращение равное . Итак, является приращением ординаты касательной, соответствующей приращению ординаты кривой. Чем меньше , тем меньше отличаются между собой ординаты кривой и касательной.

Дифференциал независимой переменной. Дифференциалом независимой переменной называется ее приращение , т.е. . Поэтому дифференциал функции записывается в виде .

Основные правила вычисления дифференциала функции. Так как дифференциал лишь множителем отличается от производной , то правила дифференцирования легко получаются из правил нахождения производной. Приведем основные из них:

,

,

поскольку .

Пример. Найти дифференциал функции .

Решение: .

Инвариантность формы дифференциала. Правило дифференцирования сложной функции приводит к одному замечательному и важному свойству дифференциала. Пусть , таковы, что из них можно составить сложную функцию . Найдем дифференциал этой сложной функции:

.

Как видим, форма дифференциала осталась прежней, хотя не является независимой переменной. Разница лишь в том, что есть не произвольное приращение , а дифференциал как функция от .

Это свойство сохранять форму и называется инвариантностью формы дифференциала. Свойство играет важную роль в интегральном исчислении.