Функция 
называется непрерывной на отрезке 
, если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на концах отрезка, т.е. в точках 
и 
, непрерывна соответственно справа и слева.
Приведем некоторые свойства непрерывных на отрезке функций.
Рис. 4 Рис. 5
1. Теорема о существовании корня. Если функция 
непрерывна на замкнутом отрезке 
и на концах его принимает разные по знаку значения 
, то она хотя бы раз обращается в 0 внутри интервала (рис.4, рис.5).
Геометрически это очевидно: для того, чтобы функция изменила знак, ее график должен пересечь ось абсцисс, т.е. функция должна обратиться в 0.
2. Теорема о промежуточных значениях. Функция, непрерывная на замкнутом отрезке, принимает внутри отрезка хотя бы один раз любое значение, заключенное между ее значениями на концах отрезка.
Пусть 
и пусть 
. Тогда согласно теореме для любого 
, заключенного между 
и 
,найдется точка 
такая, что 
(рис.6).
3. Теорема о наибольшем и наименьшем значениях. Функция, непрерывная на отрезке, хотя бы в одной точке отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной точке – наименьшее значение.
Например, функция, показанная на рис. 7,в точке 
достигает наибольшее значение 
, а в точке 
– наименьшее значение 
.
Рис. 6 Рис. 7
Следствие. Функция, непрерывная на замкнутом отрезке, ограничена на этом отрезке: 
, где 
– наименьшее, а 
– наибольшее значения функции 
на 
.
