![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Значение производной функции часто позволяет делать заключение о поведении самой функции. Рассмотрим ряд теорем, которые играют важную роль при изучении поведения функции с помощью производных.
Изучение количественного аспекта различных явлений природы (физических, экономических, социально-политических) приводится к изучению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую функциональную зависимость выразить аналитически, т.е. в виде одной или нескольких формул, то исследователь получает возможность изучать эту функциональную зависимость средствами математического анализа. Например, в результате изучения колебания груза на рессоре (автомобиль, вагон и т.д.) получим формулу, показывающую, как отклонение груза от положения равновесия зависит от времени
:
. (*)
Величины имеют определенное значение для рассматриваемой колебательной системы; хотя они зависят от упругости системы, от величины груза и некоторых других факторов, но не изменяются с течением времени, и поэтому рассматриваются как постоянные величины (параметры). На основании формулы (*) можно выяснить, при каких значениях
отклонение
увеличивается с увеличением времени, как меняется величина наибольшего отклонения груза в зависимости от времени, при каких значениях
получаются наибольшие скорости движения груза и ряд других вопросов. Все они входят в понятие «исследовать поведение функции
.
Функция называется возрастающей (неубывающей) на множестве
, если для любых
, для которых
, выполняется неравенство
(
).
Функция называется убывающей (невозрастающей) на множестве
, если для любых
, для которых
, выполняется неравенство
(
).
Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие функции называется монотонными.
Функция в точке
имеет локальный максимум (локальный минимум), если можно указать такую окрестность
точки
, что для всех точек этой окрестности, отличных от
выполняется неравенство
(
).
Иначе, функция имеет в точке
максимум (минимум) если ее значение в точке
больше (меньше) чем ее значение во всех точках некоторого интервала, содержащего точку
, отличных от точки
.
На рис... приведем график функции , которая возрастает на интервалах
и
, и убывает на интервалах
и
; в точках
и
.
x |
y |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Функция имеет локальный максимум, равный соответственно
и
, а в точке
- локальный минимум, равный
.
Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.
Теорема Ферма. Пусть функция определена в некоторой области и во внутренней точке
, и она имеет в этой точке локальный экстремум. Тогда, если существует двусторонняя конечная производная
в этой точке, то необходимо
.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Рис. 8
Обращение в ноль производной геометрически означает, что в точке
этой кривой касательная параллельна оси
(рис. 8).
Теорема Роля. Пусть функция :
1) определена и непрерывна на отрезке ,
2) имеет конечную производную , по крайней мере, в
,
3) на концах отрезка принимает равные значения: .
Тогда между и
найдется такая точка
, что
.
Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции существует точка
, касательная в которой параллельна оси
(рис. 8).
Теорема Лагранжа или первая теорема о среднем значении. Пусть:
1. определена и непрерывна на
,
2. существует конечная производная , по крайней мере, в
.
Тогда между и
найдется такая точка
, что для нее выполняется равенство
. (**)
Проведем секущую через точки
и
кривой
(рис. 9). Легко заметить, что угловой коэффициент секущей
равен,
,а
угловой коэффициент касательной к кривой
в точке с. Отсюда следует из теоремы Лагранжа, что на дуге
всегда найдётся хотя бы одна точка М, в которой касательная параллельна хорде
.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Рис. 9
Формулу (**) можно записать в виде
- это равенство называется формулой (Лагранжа) конечных приращений.
Из формулы конечных приращений следует следующее утверждение: если функция имеет на интервале
производную, равную нулю, то она постоянна на этом интервале.
Теорема Коши или вторая теорема о среднем значении. Пусть:
1) функции и
непрерывны на
,
2) существуют конечные производные и
, по крайней мере, в
,
3) в
.
Тогда между и
найдется такая точка
, что
.
Приложения производных. Производные широко применяются при решении различных задач. Рассмотрим некоторые из них.
Нахождение скорости и ускорения точки при прямолинейном движении. Если точка движется прямолинейно по закону , то ее скорость в момент времени
вычисляется по формуле
,
а ускорение – по формуле
.
Пример 1. Найти скорость и ускорение точки в момент времени , если она движется прямолинейно по закону
.
Решение. Найдем сначала скорость и ускорение материальной точки в производный момент времени .
,
.
Следовательно, в момент времени ее скорость и ускорение соответственно равны
.
Составление уравнений касательной и нормали к кривой . Поскольку
есть угловой коэффициент касательной к графику функции
в точке
, то уравнение касательной к кривой
в точке
имеет вид:
,
а уравнение нормали
.
Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой
Решение. Найдём ординату точки . Тогда
и
.
Следовательно, уравнение касательной в этой точке имеет вид или
, а уравнение нормали
или
.
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Рассмотрим применение производной для раскрытия неопределенностей. Последующие теоремы в основном принадлежат Лопиталю и И. Бернулли. Высказанное в них правило обычно называют правилом Лопиталя.
Неопределенность вида или
. Пусть
1) функции и
непрерывны на некотором интервале,
- произвольная точка этого интервала;
2) или
;
3) существуют конечные производные и
, причем
.
Тогда , если последний предел существует.
Теорема имеет место и в случае, когда .
Теорема может быть полезна в тех случаях, когда нахождение предела отношения производных проще, чем нахождение предела отношения самих функций.
Пример 1.
.
Пример 2.
.
Пример 3.
Пример 4.
Отметим, что правило Лапиталя можно применить несколько раз при условии, что имеет место неопределенность вида или
.
Другие виды неопределенностей. Кроме неопределённостей вида и
существуют, как уже было рассмотрено ранее, неопределённости вида
. Предыдущая теорема относились к неопределенностям вида
и
. Поэтому,для того, чтобы воспользоваться правилом Лопиталя для раскрытия неопределенностей других видов, их нужно привести сначала к неопределенностям вида
или
. Приведём примеры на вычисление данных неопределённостей.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
,
поскольку
.
Пример 4.
Пример 5. ,
поскольку .
Дата публикования: 2015-02-18; Прочитано: 422 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!