Основные теоремы дифференциального исчисления

Значение производной функции часто позволяет делать заключение о поведении самой функции. Рассмотрим ряд теорем, которые играют важную роль при изучении поведения функции с помощью производных.

Изучение количественного аспекта различных явлений природы (физических, экономических, социально-политических) приводится к изучению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую функциональную зависимость выразить аналитически, т.е. в виде одной или нескольких формул, то исследователь получает возможность изучать эту функциональную зависимость средствами математического анализа. Например, в результате изучения колебания груза на рессоре (автомобиль, вагон и т.д.) получим формулу, показывающую, как отклонение груза от положения равновесия зависит от времени :

. (*)

Величины имеют определенное значение для рассматриваемой колебательной системы; хотя они зависят от упругости системы, от величины груза и некоторых других факторов, но не изменяются с течением времени, и поэтому рассматриваются как постоянные величины (параметры). На основании формулы (*) можно выяснить, при каких значениях отклонение увеличивается с увеличением времени, как меняется величина наибольшего отклонения груза в зависимости от времени, при каких значениях получаются наибольшие скорости движения груза и ряд других вопросов. Все они входят в понятие «исследовать поведение функции .

Функция называется возрастающей (неубывающей) на множестве , если для любых , для которых , выполняется неравенство ().

Функция называется убывающей (невозрастающей) на множестве , если для любых , для которых , выполняется неравенство ().

Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие функции называется монотонными.

Функция в точке имеет локальный максимум (локальный минимум), если можно указать такую окрестность точки , что для всех точек этой окрестности, отличных от выполняется неравенство ().

Иначе, функция имеет в точке максимум (минимум) если ее значение в точке больше (меньше) чем ее значение во всех точках некоторого интервала, содержащего точку , отличных от точки .

На рис... приведем график функции , которая возрастает на интервалах и , и убывает на интервалах и ; в точках и .

x

y

Функция имеет локальный максимум, равный соответственно и , а в точке - локальный минимум, равный .

Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.

Теорема Ферма. Пусть функция определена в некоторой области и во внутренней точке , и она имеет в этой точке локальный экстремум. Тогда, если существует двусторонняя конечная производная в этой точке, то необходимо .

Рис. 8

Обращение в ноль производной геометрически означает, что в точке этой кривой касательная параллельна оси (рис. 8).

Теорема Роля. Пусть функция :

1) определена и непрерывна на отрезке ,

2) имеет конечную производную , по крайней мере, в ,

3) на концах отрезка принимает равные значения: .

Тогда между и найдется такая точка , что .

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл. Если выполнены условия теоремы, то на графике функции существует точка , касательная в которой параллельна оси (рис. 8).

Теорема Лагранжа или первая теорема о среднем значении. Пусть:

1. определена и непрерывна на ,

2. существует конечная производная , по крайней мере, в .

Тогда между и найдется такая точка , что для нее выполняется равенство

. (**)

Проведем секущую через точки и кривой (рис. 9). Легко заметить, что угловой коэффициент секущей равен, ,а угловой коэффициент касательной к кривой в точке с. Отсюда следует из теоремы Лагранжа, что на дуге всегда найдётся хотя бы одна точка М, в которой касательная параллельна хорде .

Рис. 9

Формулу (**) можно записать в виде

- это равенство называется формулой (Лагранжа) конечных приращений.

Из формулы конечных приращений следует следующее утверждение: если функция имеет на интервале производную, равную нулю, то она постоянна на этом интервале.

Теорема Коши или вторая теорема о среднем значении. Пусть:

1) функции и непрерывны на ,

2) существуют конечные производные и , по крайней мере, в ,

3) в .

Тогда между и найдется такая точка , что

.

Приложения производных. Производные широко применяются при решении различных задач. Рассмотрим некоторые из них.

Нахождение скорости и ускорения точки при прямолинейном движении. Если точка движется прямолинейно по закону , то ее скорость в момент времени вычисляется по формуле

,

а ускорение – по формуле

.

Пример 1. Найти скорость и ускорение точки в момент времени , если она движется прямолинейно по закону .

Решение. Найдем сначала скорость и ускорение материальной точки в производный момент времени .

,

.

Следовательно, в момент времени ее скорость и ускорение соответственно равны .

Составление уравнений касательной и нормали к кривой . Поскольку есть угловой коэффициент касательной к графику функции в точке , то уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

,

а уравнение нормали

.

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой

Решение. Найдём ординату точки . Тогда и .

Следовательно, уравнение касательной в этой точке имеет вид или , а уравнение нормали или .

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Рассмотрим применение производной для раскрытия неопределенностей. Последующие теоремы в основном принадлежат Лопиталю и И. Бернулли. Высказанное в них правило обычно называют правилом Лопиталя.

Неопределенность вида или . Пусть

1) функции и непрерывны на некотором интервале, - произвольная точка этого интервала;

2) или

;

3) существуют конечные производные и , причем .

Тогда , если последний предел существует.

Теорема имеет место и в случае, когда .

Теорема может быть полезна в тех случаях, когда нахождение предела отношения производных проще, чем нахождение предела отношения самих функций.

Пример 1.

.

Пример 2.

.

Пример 3.

Пример 4.

Отметим, что правило Лапиталя можно применить несколько раз при условии, что имеет место неопределенность вида или .

Другие виды неопределенностей. Кроме неопределённостей вида и существуют, как уже было рассмотрено ранее, неопределённости вида . Предыдущая теорема относились к неопределенностям вида и . Поэтому,для того, чтобы воспользоваться правилом Лопиталя для раскрытия неопределенностей других видов, их нужно привести сначала к неопределенностям вида или . Приведём примеры на вычисление данных неопределённостей.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

,

поскольку

.

Пример 4.

Пример 5. ,

поскольку .