Исследование функций с помощью производных

Необходимые условия экстремума. Предположим сначала, что функция дифференцируема на . Если в точке функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку теорему Ферма, заключаем, что . Это необходимое условие экстремума, т.е. экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю. Такие точки называются стационарными.

Если допустить, что экстремум может быть в точках, где производная не существует, то не исключена возможность, что экстремум придется на какую-либо из таких точек.

Таким образом, в общем случае для того, чтобы в точке функция имела экстремум, необходимо, чтобы в этой точке производная либо не существовала, либо была равна нулю. Такие точки называют критическими.

Отметим, что каждая точка, в которой функция имеет экстремум, является критической. Однако, не в каждой критической точке есть экстремум.

Например. Для функции ; , однако в точке эта функция экстремума не имеет (рис.10)

х

у

-1

-1

Рис. 10

Заметим, что возрастание или убывание функции на некотором интервале определяется знаком ее производной на этом интервале. Имеет место следующее утверждение:

1) если функция , имеющая производную на отрезке , возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке неотрицательна, т.е. ; если же убывает на отрезке , то на этом отрезке.

2) если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри него, причем для , то эта функция возрастает на отрезке ; если же на интервале , то убывает на отрезке .

Интервалы, на которых функция либо только убывает, либо только возрастает, называются интервалами монотонности функции.

Пример. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Найдем ее производную.

Следовательно, . Отсюда имеем три интервала монотонности данной функции: . Определим знак производной в каждом интервале и характер поведения функции на нём.

на интервале функция возрастает;

на интервале функция убывает;

на интервале функция возрастает;

+ - +