Достаточные условия экстремума. Первое правило

Чтобы определить, есть ли в критической точке экстремум, применяют достаточные условия экстремума.

Предположим, что в некоторой -окрестности критической точки существует производная и как слева от , так и справа от сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

1. при и при , т.е. производная при переходе через точку меняет знак «+» на «-». В этом случае в промежутке функция возрастает, а в промежутке убывает, так что значение будет наибольшим в промежутке , т.е. в точке функция имеет локальный максимум.

2. при и при , т.е. производная при переходе через точку меняет знак «-» на «+». В этом случае аналогично убеждаемся в том, что в точке функция имеет локальный минимум.

3. как при , так и при , либо же и слева и справа от , т.е. при переходе через точку не имеет знак. Тогда функция либо все время возрастает, либо все время убывает, так что в точке экстремума нет.

Итак, мы получаем первое правило для определения экстремума в критической точке : подставляем в производную сначала , а затем , устанавливаем знак производной вблизи от точки слева и справа от нее, если при этом производная меняет знак «+» на «-», то на лицо максимум, если меняет знак «-» на «+», то –минимум; если же знак не меняет, то экстремума вовсе нет.

Пример. Найти экстремумы функции

.

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси.

Решение. Ее производная

существует и конечная при всех .

Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю.

; ;

Критические точки: .

Этими точками область определения функции разбивается на следующие интервалы:

.

Поскольку производная существует, то других критических точек у функции нет.

Для определения знака производной в этих интервалах можно установить его для конкретных значений, например, . Получаем следующие знаки:

в интервале ,

в интервале ,

в интервале ,

в интервале .

+

+

+

-

-2

В соответствии с достаточным условием при экстремума нет (производна не поменяла знак при переходе через точку ), при функция имеет максимум (производна поменяла знак с «+» на «-»), а при - минимум (производная поменяла знак с «-» на «+»).

Зная точки , доставляющие нашей функции экстремальные значения, легко вычислить теперь и сами эти значения: , . График этой функции имеет вид

Достаточные условия экстремума. Второе правило. Пусть функция не только имеет производную в окрестности точки , но и вторую производную в самой точке : . Точка - стационарная, т.е. . Если , то функция в точке имеет минимум. Если , то в точке функция имеет максимум.

Отсюда следует второе правило для проверки экстремума в точке : подставляем во вторую производную ; если , то функция имеет минимум, если же , то – максимум в точке .

Это правило имеет, вообще говоря, более узкий круг применения. Оно явно неприменимо к тем точкам, где не существует первая производная. В тех случаях, когда вторая производная обращается в ноль, правило также ответа не дает. Решение вопроса зависит от поведения высших производных высших порядков.

Пример. Вернемся к рассмотренной выше задаче:

.

Для нее .

Стационарные точки: .

.

Для отыскания производной второго порядка воспользовались формулой .

,

,

.

Таким образом, в точке - максимум, - минимум, для точки вопрос остается не решенным и для его решения необходимо воспользоваться первым правилом.

Порядок нахождения интервалов монотонности функции и экстремума и точек. При исследовании функции интервалы монотонности и точки экстремума находятся одновременно. Порядок их нахождения может быть следующим:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность. Если функция четная или нечетная, то ее можно исследовать только на половине области определения.

3. Исследовать функцию на периодичность. Если функция периодическая, то ее можно исследовать только на одном периоде.

4. Найти критические точки функции, т.е. точки, в которых ее производная равна нулю или не существует. Эти точки разобьют область определения функции на интервалы, в которых производная сохраняет знак.

5. Определить знак производной в каждом интервале. Для этого достаточно вычислить значение производной в одной из внутренних точек каждого интервала.

6. В интервалах, где производная положительна, функция возрастает, в интервалах, где производная отрицательна, функция убывает; в критических точках, при переходе через которые производная меняет знак с минуса на плюс, функция имеет минимум, в критических точках, при переходе через которые производная меняет знак с плюса на минус, функция имеет максимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в этой точке функция не имеет экстремума.

7. Вычислить экстремальные значения функции.

Пример. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Решение.

1) Функция определена на всей числовой оси: или D(f) = R.

2) Проверим, не является ли функция четной, либо нечетной:

f(-x) = = = ; , следовательно функция не является ни четной, ни нечетной.

3) Функция не периодическая, так как она алгебраическая.

4) Найдём производную данной функции

Найдём критические точки функции, т.е. точки, где производная равна нулю либо не существует:

.

Производная не существует в точках, где , т.е. в точках . Таким образом имеем три критических точки, которые разбивают область определения функции на четыре интервала.

+

+

-

+

Полученные результаты оформим в виде таблицы.

		не сущес- твует				не сущес- твует
						нет экстре- мума

Из таблицы видно, что в интервалах , функция монотонно возрастает, а в интервале (0,4/3) монотонно убывает , , при экстремума нет.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Рассмотрим вопрос о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции в этом промежутке.

Остановимся сначала на наибольшем значении. Если оно достигается в некоторой точке между и , то это один из максимумов (очевидно наибольший). Но наибольшее значение может достигаться и на одном из концов отрезка или . Таким образом, для нахождения наибольшего значения функции надо сравнить между собой все максимумы функции и ее граничные значения и . Наибольшее из них и будет наибольшим значением функции в .

Аналогично находим и наименьшее значение.

Практически для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке достаточно найти критические точки функции, лежащие внутри отрезка, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка, и из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Это и будут наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. В предыдущем примере было установлено, что на отрезке функция имеет одну критическую точку . Поэтому для решения задачи достаточно вычислить значения функции в этой точке и на концах отрезка:

,

,

.

Среди них наименьшее и наибольшее .

Следовательно, наименьшее значение функции равно , а наибольшее значение функции равно .

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Каждый из вас интуитивно представляет себе выпуклую поверхность. Например, внешняя поверхность сферы. Любая плоская кривая на такой поверхности является выпуклой. Можно также говорить о выпуклости вниз и выпуклости вверх кривой.

Рис. 11 Рис. 12

Пусть функция определена и непрерывна в некотором промежутке . Говорят, что кривая выпукла вниз (вогнута), если ее график лежит не ниже любой касательной, проведенной к ней на этом промежутке (рис. 11). Если же график функции лежит не выше любой своей касательной, то кривая называется выпуклой вверх (выпуклой) (рис. 12).

Часто функция выпукла вверх в одних частях ее области определения и выпукла вниз в других. Точки графика функции, при переходе через которые меняется направление выпуклости, называются точками перегиба.

Рис. 13

Следует иметь в виду, что направление выпуклости может измениться и в точках разрыва функции (рис. 3).