Понятие неопределенностей

В теоремах о пределах суммы, произведения, частного конечного числа функций мы предполагали, что все рассматриваемые функции имеют конечные пределы и, в случае частного, предел делителя не должен был равняться нулю. Оставлены были без рассмотрения случаи, когда пределы функций бесконечны или, в случае частного, когда предел знаменателя равен нулю.

Рассмотрим наиболее важные из этих случаев.

1. Неопределенность вида . Эта неопределенность имеет место при вычислении предела частного, когда и делимое и делитель одновременно стремятся к нулю.

Раскрывается такая неопределенность алгебраическими или тригонометрическими преобразованиями, или же с помощью эквивалентных бесконечно малых, поскольку имеем отношение двух бесконечно малых.

Пример. Найти предел функции .

Решение.

Вспомогательные вычисления.

Разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь формулой , где и корни уравнения .

Пример. .

2. Неопределенность вида . Эта неопределенность имеет место при вычислении предела частного, когда и делимое и делитель одновременно стремятся к бесконечности.

Раскрывается такая неопределенность алгебраическими или тригонометрическими преобразованиями, или же с помощью эквивалентных бесконечно больших, поскольку имеем отношение двух бесконечно больших.

Пример.

3. Неопределенность вида . Эта неопределенность имеет место при вычислении предела произведения, когда один из сомножителей стремится к 0, а второй – к бесконечности.

Раскрывается эта неопределенность алгебраическими или тригонометрическими преобразованиями, при этом неопределенность преобразуется в неопределенность или .

Пример. .

Поскольку , т.е. является бесконечно малой, то .

4. Неопределенность вида . Эта неопределенность имеет место при вычислении предела разности двух функций, которые стремятся к бесконечностям одного знака.

Эта неопределенность преобразуется в неопределенность или алгебраическими или тригонометрическими преобразованиями.