ТЕМА 8. Применение производной к исследованию функций и построение графиков

Вопросы для самоподготовки

1. Сформулируйте теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Коши, Лагранжа).
2. Определение функции, неубывающей (невозрастающей) на промежутке.
3. Сформулируйте необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
4. Определение минимума и максимума функции.
5. Сформулируйте необходимые и достаточные условия существования экстремума.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
7. Определение выпуклой (вогнутой) функции на интервале, точки перегиба.
8. Сформулируйте достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции, достаточное условие существование точек перегиба.
9. Определение асимптоты графика функции
10. Нахождение вертикальных, наклонных, горизонтальных асимптот.
11. Может ли точка перегиба дважды дифференцируемой функции одновременно быть точкой экстремума?
12. Может ли при переходе через точку максимума функции выпуклость графика смениться вогнутостью?
13. Приведите пример функции, имеющей два минимума и ни одного максимума.
14. Приведите пример функции, имеющей один минимум и один максимум.
15. Может ли единственный максимум функции быть меньше ее единственного минимума?
16. Приведите пример функции, имеющей две горизонтальные асимптоты.
17. Может ли график функции иметь две горизонтальные и одну наклонную асимптоту?

Вариант 1

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 2

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 3

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 4

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 5

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 6

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 7

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 8

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 9

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 10

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 11

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 12

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики.

.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 13

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики.

.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 14

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики.

.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 15

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики.

.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 16

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
7. Проведите полное исследование функции и постройте графики .
8. Проведите полное исследование функции и постройте графики.

.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 17

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .
3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .
4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .
5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .
6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

7. Проведите полное исследование функции и постройте график

.

8. Проведите полное исследование функции и постройте график

.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 18

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .

4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .

5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

7. Проведите полное исследование функции и постройте график .

8. Проведите полное исследование функции и постройте график

.

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 19

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .

4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .

5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

7. Проведите полное исследование функции и постройте график .

8. Проведите полное исследование функции и постройте график

.

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 20

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .

4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .

5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

7. Проведите полное исследование функции и постройте график .

8. Проведите полное исследование функции и постройте график

.

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 21

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .

4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .

5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

7. Проведите полное исследование функции и постройте график .

8. Проведите полное исследование функции и постройте график

.

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 22

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .

4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .

5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

7. Проведите полное исследование функции и постройте график .

8. Проведите полное исследование функции и постройте график

.

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 23

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .

4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .

5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

7. Проведите полное исследование функции и постройте график .

8. Проведите полное исследование функции и постройте график

.

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 24

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .

4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .

5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

7. Проведите полное исследование функции и постройте график .

8. Проведите полное исследование функции и постройте график

.

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Вариант 25

1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции .

3. Постройте график функции с помощью производной первого порядка .

4. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции .

5. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

6. Найдите асимптоты и постройте схематично график функции .

7. Проведите полное исследование функции и постройте график .

8. Проведите полное исследование функции и постройте график

.

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .