ТЕМА 7. Элементы математического анализа: производная функции одной переменной

Вопросы для самоподготовки

1. Сформулируйте определение производной функции. Каков ее механический и геометрический смысл?

2. Напишите уравнения касательной и нормали к графику функции.

3. Что значит: функция дифференцируема в точке; в интервале?

4. Какой класс функций шире: непрерывных в точке или дифференцируемых в той же точке? Приведите примеры.

5. Выведите формулы производных суммы, произведения, частного двух функций.

6. Выведите формулу дифференцирования сложной функции. Приведите примеры.

7. Сформулируйте теорему о производной обратной функции.

8. Опишите правило логарифмического дифференцирования. Дифференцирование степенно-показательной функции.

9. Как дифференцируются неявные функции? Приведите примеры.

10. В чем состоит способ параметрического задания функций и уравнений линий? Приведите примеры.

11. Как находится первая производная функций, заданных параметрически?

12. Что называется дифференциалом функции? Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

13. Как выражается дифференциал функции через ее производную?

14. Каков геометрический смысл дифференциала функции?

15. Перечислите основные свойства дифференциала функции. В чем состоит свойство инвариантности формы дифференциала функции?

16. Какая функция называется дифференцируемой в точке? В чем состоит необходимое условие дифференцируемости функции?

17. Что называется производной n-го порядка функции?

18. Как находятся производные высших порядков от функций, заданных явно? Неявно?

19. Каков механический смысл второй производной?

20. Как находится вторая производная функций, заданных параметрически?

21. Сформулируйте правила Лопиталя.

Вариант 1

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) , б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

5. а) б) .

6. Напишите уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

7. Вычислите приближенно y = при x = 1,03.

8. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 2

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) , б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

а) б) .

5. Напишите уравнения касательных к параболе y= в точках, ординаты которых равны 1.

6. Вычислите приближенно y = при x=1,21.

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 3

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) , б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций: а) б) .

5. Составьте уравнение касательной к кривой в точке, где t₀=2.

6. Вычислите приближенно y = при x = 0,97.

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 4

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) , б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

а) б) .

5. Составьте уравнение нормали к кривой в точке, где t₀=0.

6. Вычислите приближенно y = e при x = 0,065.

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя

Вариант 5

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) , б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

а) б) .

5. Составьте уравнение касательной и нормали к кривой в точке x =1.

6. Вычислите приближенно y = при .

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 6

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) , б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

а) б) .

5. Составьте уравнение касательной к кривой в точке с нулевой ординатой.

6. Вычислите приближенно y = при x = 1,012.

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 7

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) , б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

а) б) .

5. Составьте уравнение касательной и нормали к кривой в точке, где x = 1.

6. Вычислите приближенно при x = 1,58.

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 8

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

а) б) .

5. Составьте уравнение касательной и нормали к кривой в точке, где x = -1.

6. Вычислите приближенно при x = 7,72.

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 9

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) , б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций: а) б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке, где x = 1.

6. Вычислите приближенно при x = 1,97.

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 10

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

а) б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали в точке, где .

6. Вычислите приближенно при x = 0,01.

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 11

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

а) , б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали y = 6 - в точке, где x = 1.

6. Вычислите приближенно при x = 0,01.

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 12

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

а) , б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке, где .

6. Вычислите приближенно при x = 1,58.

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 13

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций: а) , б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке, где .

6. Вычислите приближенно при x = 0,32.

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 14

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций: а) б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке, где t =1.

6. Вычислите приближенно при x = 1,473.

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 15

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

а) , б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой

в точке с ординатой, равной .

6. Вычислите приближенно при x = 2,96.

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 16

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций: а) , б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой

в точке с абсциссой, равной 3.

6. Вычислите приближенно при .

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя .

Вариант 17

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

а) , б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой, равной 0.

6. Вычислите приближенно при x =0,08.

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя

Вариант 18

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций: а) б) .

5. Составьте уравнения касательных к параболе в точках, ординаты которых равны 1.

6. Вычислите приближенно при .

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя

Вариант 19

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций: а) б) .

5. Составьте уравнения касательных к кривой в точках пересечения с осью абсцисс.

6. Вычислите приближенно при .

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя

Вариант 20

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций: а) б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой

в точке .

6. Вычислите приближенно y = при .

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя

Вариант 21

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

5. а) б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

6. Вычислите приближенно при .

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя

Вариант 22

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

5. а) б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

6. Вычислите приближенно при .

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя

Вариант 23

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

5. а) б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

6. Вычислите приближенно при .

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя

Вариант 24

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций: а) б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

6. Вычислите приближенно при .

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя

Вариант 25

1. Найдите по определению от функции .

2. Найдите производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

3. Найдите дифференциал функции .

4. Найдите от функций:

5. а) б) .

5. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке .

6. Вычислите приближенно при .

7. Вычислите предел по правилу Лопиталя

Ответы к теме 7:

Вариант 1. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 1,012. 7. .

Вариант 2. 4. а) . 5. Касательные , . 6. 1,07. 7. .

Вариант 3. 4. а) . 5. Касательная . 6. 1,99. 7. .

Вариант 4. 4. а) . 5. Касательная . 6. 1,13. 7. .

Вариант 5. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 2,997. 7. .

Вариант 6. 4. а) . 5. Касательная . 6. 2,009. 7. .

Вариант 7. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 0,495. 7. .

Вариант 8. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 1,977. 7. .

Вариант 9. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 2,975. 7. .

Вариант 10. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 1,01. 7. .

Вариант 11. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 1,01. 7. .

Вариант 12. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 0,495. 7. .

Вариант 13. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 2,03. 7. 12,5.

Вариант 14. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 3,002. 7. .

Вариант 15. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 0,992. 7. .

Вариант 16. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 0,05. 7. 3.

Вариант 17. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 0,08. 7. .

Вариант 18. 4. а) . 5. Касательные и . 6. 0,995. 7. .

Вариант 19. 4. а) . 5. Касательные и . 6. 0,775. 7. .

Вариант 20. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 2,032. 7. 0.

Вариант 21. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 2,03. 7. .

Вариант 22. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 1,875. 7. .

Вариант 23. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 1,22. 7. .

Вариант 24. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 0,0157. 7. .

Вариант 25. 4. а) . 5. Касательная , нормаль . 6. 3,03. 7. .