ТЕМА 6. Элементы математического анализа: предел и непрерывность функции одной переменной

Вопросы для самоподготовки

1. Что называется последовательностью и ее пределом?

2. Сформулируйте основной достаточный признак существования предела последовательности. Приведите геометрическую иллюстрацию этого факта.

3. Что называется числом «е», что называется натуральным логарифмом? Какова связь между десятичными и натуральными логарифмами?

4. Сформулируйте определение предела функции в точке при по Гейне (на «языке последовательностей»), по Коши (на «языке »), при , одностороннего предела, в чем заключается его геометрический смысл?

5. Какая функция называется бесконечно малой при и при ? Сформулируйте основные теоремы о бесконечно малых функциях.

6. Какая функция называется бесконечно большой при и при ?

7. Какова связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями?

8. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

9. Пусть даны две функции и бесконечно малые при . Что значит, что при :

а) функции и одного порядка малости и эквивалентные;

б) - бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем ;

в) - бесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем . Приведите на все случаи примеры.

10. Запишите первый замечательный предел, второй замечательный предел.

11. Сформулируйте определение непрерывной функции в точке, на отрезке.

12. Точки разрыва функции и их классификация.

13. Основные теоремы о непрерывных функциях.

14. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Вариант 1

Вычислите пределы функций:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и

. Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 2

Вычислите пределы функций:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 3

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 4

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 5

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 6

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найти точки разрыва функции. Сделать чертеж.

Вариант 7

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 8

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 9

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 10

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 11

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 12

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 13

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 14

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 15

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 16

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 17

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 18

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 19

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8.

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 20

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 21

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 22

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 23

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 24

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Вариант 25

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. .

9. Исследуйте на непрерывность функцию в точках и . Сделайте схематический чертеж.

10. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж.

Ответы к теме 6

Вариант 1.

1. 0; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. 0; 7. ; 8. 6;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 2.

1. ; 2. ; 3. ; 4. 4; 5. ; 6. ; 7. ; 8. 2;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 3.

1. ; 2. 0; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. 1;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 4.

1. ; 2. 2; 3. 1; 4. 2; 5. 0; 6. ; 7. ; 8. 3;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 5.

1. ; 2. ; 3. 2; 4. 3; 5. ; 6. ; 7. ; 8. е;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 6.

1. 0; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 0; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 7.

1. ; 2. 0; 3. ; 4. 2; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 8.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 9.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 10.

1. 0; 2. ; 3. ; 4. -16; 5. 0; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 11.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 12.

1. 0; 2. 0; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 13.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 14.

1. ; 2. -3; 3. ; 4. ; 5. 1; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 15.

1. -2; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 16.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 17.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 18.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 19.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. 1; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 20.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке разрыв II рода;

10. В точке функция непрерывна, в точке разрыв I рода.

Вариант 21.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ;

9. В точке функция непрерывна, в точке