ТЕМА 4. Кривые второго порядка 4 страница

3. Какие векторы линейного пространства называются линейно независимыми? Линейно зависимыми?

4. Что называется базисом линейного пространства?

5. Что называется размерностью линейного пространства?

6. Что называется евклидовым пространством?

7. Сформулируйте аксиомы, определяющие скалярное произведение векторов.

8. Что называется нормой вектора?

9. Как определить угол между двумя векторами евклидова пространства?

10. Какие векторы евклидова пространства называются ортогональными?, приведите признак ортогональности.

11. Что называется линейным оператором?

12. Как найти матрицу линейного оператора? Запишите формулы для нахождения матрицы линейного оператора в новом базисе.

13. Что такое собственные значения и собственные векторы линейного оператора?

14. Как найти собственные векторы линейного оператора?

15. Какой вид имеет матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов?

16. Что называется квадратичной формой и её матрицей? В каком случае говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид?

17. Как применяется теория квадратичных форм для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду?

Вариант 1

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (0,1,-4)

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где если она задана в базисе :

Вариант 2

1. Проверить линейность оператора

.

2. Даны базисные векторы оператора А:

Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (0,2,-2).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где если она задана в базисе :

Вариант 3

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А:

Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-1,4,2).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 4

1. Проверить линейность оператора

.

2. Даны базисные векторы оператора А:

Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (0,-2,-4).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 5

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А:

Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-1,3,5).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 6

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А:

Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-2,3,5).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 7

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А:

Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-2,4,-4).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 8

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А:

Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-1,-2,5).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 9

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А:

Составить матрицу этого оператора.

3.Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-1,2,5).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 10

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А:

Составить матрицу этого оператора.

3.Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-1,2,5)

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 11

1. Проверить линейность оператора

.

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-1,2,-3).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 12

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-1,-3,4).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 13

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-1,2,-4).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 14

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого

оператора

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-1,2,-2).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 15

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (3,3,-3).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 16

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (1,-2,4).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 17

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (1,-2,3).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 18

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (1,2,3)

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 19

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (1,2,4).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 20

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-1,-1,1).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 21

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (1,2,3).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 22

1. Проверить линейность оператора

.

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-1,-1,-2).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 23

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-1,-1,2).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 24

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А. Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (1,-3,3).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :

Вариант 25

1. Проверить линейность оператора

2. Даны базисные векторы оператора А:

Составить матрицу этого оператора.

3. Найти собственные числа и собственные векторы оператора А.

Ответ: (-5, 5, 2).

4. Найти матрицу линейного оператора А в новом базисе , где

если она задана в базисе :