Двойные интегралы

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую (рис.8.3), уравнение которой

f(x, y) = 0.

y

0 x

рис.8.3.

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние D х_i, а по оси у – на D у_i. Вообще говоря, такой порядок разбиения необязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S_i = Dx_i × Dy_i.

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х_i, y_i) и составим интегральную сумму

(8.23)

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей D _i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S_i стремится к нулю.

Определение 8.17. Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

Обозначается .

С учетом того, что S_i = Dx_i × Dy_i получаем:

(8.24)

В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р_i, то, считая все площади S_i одинаковыми, получаем формулу:

(8.25)