![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 8.14. Точка называется точкой локального максимума функции
, если для всех точек
, принадлежащих достаточно малой окрестности точки
, выполняется неравенство
. Значение функции
в точке максимума называется локальным максимумом функции.
Определение 8.15. Точка называется точкой локального минимума функции
, если для всех точек
, принадлежащих достаточно малой окрестности точки
, выполняется неравенство
. Значение функции
в точке минимума называется локальным минимумом функции.
Определение 8.16. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Теорема 8.2. (Необходимые условия экстремума). Если функция достигает экстремума в точке
, то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е.
![]() ![]() | (8.20) |
Точки, в которых частные производные равны нулю, будем называть стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.
Теорема 8.3. (Достаточные условия экстремума). Пусть - стационарная точка функции
.
Обозначим:
![]() ![]() ![]() | (8.21) |
и составим соотношение
![]() | (8.22) |
Тогда:
1. если , то значение функции
- есть экстремум, причем это максимум, если
и минимум, если
;
2. если , то значение функции
экстремумом не является;
3. если , то требуется дальнейшее исследование.
Пример 8.4. Найти точки экстремума функции: .
Решение. Найдем стационарные точки функции. Для этого сначала найдем частные производные:
,
Решая систему уравнений
находим стационарные точки ,
Выясним, достигает ли в них заданная функция экстремум. Находим значения вторых производных в точке :
,
;
,
;
,
.
Вычислим - функция в точке
имеет экстремум. Так как
, то в точке
функция z имеет минимум:
Аналогично проводятся исследования для точки :
;
;
;
- экстремума в точке
нет.
Ответ:
8.2.3. Наибольшее и наименьшее значение функции
двух переменных в замкнутой области
Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области необходимо:
1. Найти стационарные точки, лежащие внутри данной области, и вычислить значения функции в этих точках (в данном случае нет необходимости исследовать функцию на экстремум).
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области.
3. Сравнить полученные в п.1 и п.2 значения функции и выбрать среди них наибольшее и наименьшее значения функции в данной области.
Пример 8.5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области
.
Решение.
Построим область D:
Угловые точки области - это точки пересечения линий: x = 0,
y = 1, x + y = 3.
1. Найдем стационарные точки функции. Для этого сначала находим
.
Координаты стационарной точки являются решением системы:
.
Точка - стационарная. Точка
не попадает в область D, следовательно, значение функции в этой точке нами не рассматривается.
2. Исследуем функцию на границах области D. Ее границы задаются уравнениями:
а) x = 0;
б) y = 1;
в) x + y = 3.
Рассмотрим подробно каждое из вышеперечисленных уравнений:
а) если x = 0, то - функция одной переменной у. Найдем ее стационарные точки:
.
Получаем стационарную точку , не попадающую в область D.
б) если y = 1, то - функция одной переменной х. Найдем ее стационарные точки:
.
Получаем стационарную точку , входящую в область D.
в) если x + y = 3, то и
. Получаем, что
- функция одной переменной х. Найдем ее стационарные точки:
.
Получаем стационарную точку , не попадающую в область D.
3. Таким образом, получили четыре точки, в которых функция может достигать наибольшего и наименьшего значения: . Вычислим значение функции z в этих точках и выберем из них наибольшее и наименьшее:
- наименьшее;
;
- наибольшее;
.
Таким образом, наибольшее значение , наименьшее значение
.
Дата публикования: 2015-02-18; Прочитано: 390 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!