Экстремумы функций двух переменных

Определение 8.14. Точка называется точкой локального максимума функции , если для всех точек , принадлежащих достаточно малой окрестности точки , выполняется неравенство . Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом функции.

Определение 8.15. Точка называется точкой локального минимума функции , если для всех точек , принадлежащих достаточно малой окрестности точки , выполняется неравенство . Значение функции в точке минимума называется локальным минимумом функции.

Определение 8.16. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Теорема 8.2. (Необходимые условия экстремума). Если функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е.

.

(8.20)

Точки, в которых частные производные равны нулю, будем называть стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Теорема 8.3. (Достаточные условия экстремума). Пусть - стационарная точка функции .

Обозначим:

; ;

(8.21)

и составим соотношение

.

(8.22)

Тогда:

1. если , то значение функции - есть экстремум, причем это максимум, если и минимум, если ;

2. если , то значение функции экстремумом не является;

3. если , то требуется дальнейшее исследование.

Пример 8.4. Найти точки экстремума функции: .

Решение. Найдем стационарные точки функции. Для этого сначала найдем частные производные:

,

Решая систему уравнений

находим стационарные точки ,

Выясним, достигает ли в них заданная функция экстремум. Находим значения вторых производных в точке :

, ;

, ;

, .

Вычислим - функция в точке имеет экстремум. Так как , то в точке функция z имеет минимум:

Аналогично проводятся исследования для точки :

; ; ; - экстремума в точке нет.

Ответ:

8.2.3. Наибольшее и наименьшее значение функции
двух переменных в замкнутой области

Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области необходимо:

1. Найти стационарные точки, лежащие внутри данной области, и вычислить значения функции в этих точках (в данном случае нет необходимости исследовать функцию на экстремум).

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области.

3. Сравнить полученные в п.1 и п.2 значения функции и выбрать среди них наибольшее и наименьшее значения функции в данной области.

Пример 8.5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области .

Решение.

Построим область D:

Угловые точки области - это точки пересечения линий: x = 0,
y = 1, x + y = 3.

1. Найдем стационарные точки функции. Для этого сначала находим

^.

Координаты стационарной точки являются решением системы:

.

Точка - стационарная. Точка не попадает в область D, следовательно, значение функции в этой точке нами не рассматривается.

2. Исследуем функцию на границах области D. Ее границы задаются уравнениями:

а) x = 0;

б) y = 1;

в) x + y = 3.

Рассмотрим подробно каждое из вышеперечисленных уравнений:

а) если x = 0, то - функция одной переменной у. Найдем ее стационарные точки:

.

Получаем стационарную точку , не попадающую в область D.

б) если y = 1, то - функция одной переменной х. Найдем ее стационарные точки:

.

Получаем стационарную точку , входящую в область D.

в) если x + y = 3, то и . Получаем, что - функция одной переменной х. Найдем ее стационарные точки:

.

Получаем стационарную точку , не попадающую в область D.

3. Таким образом, получили четыре точки, в которых функция может достигать наибольшего и наименьшего значения: . Вычислим значение функции z в этих точках и выберем из них наибольшее и наименьшее:

- наименьшее;

;

- наибольшее;

.

Таким образом, наибольшее значение , наименьшее значение .