Геометрические и физические приложения кратных интегралов

1) Вычисление площадей в декартовых координатах.

y

y = j(x)

S

y = f(x)

a b x

рис.8.8.

Площадь S (рис.8.8)может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

(8.33)

Пример8.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 4x + 4;

x + y – 2 = 0.

Решение. Построим графики заданных функций (рис.8.9):

рис.8.9

Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =

2) Вычисление объемов тел.

Пусть тело ограничено снизу плосткостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y),

а с боков – цилиндрической поверхностью.

Такое тело называется цилиндроид (рис.8.10).

z

z = f(x, y)

x₁ y₁ x₂

x

y₂

y

рис.8.10

V = (8.34)

Пример 8.11. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x² + y² = 1;

x + y + z = 3 и плоскостью ХОY.

Решение. Пределы интегрирования: по оси ОХ:

по оси ОY: x₁ = -1; x₂ = 1;

3) Вычисление площади кривой поверхности.

Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:

(8.35)

Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = j(x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:

(8.36)